证明函数(x)=ln (x+sqrt ({x)^2+1})为奇函数.

步骤 1：定义奇函数
奇函数的定义是：对于函数$f(x)$，如果对于所有定义域内的$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
步骤 2：计算$f(-x)$
对于函数$f(x)=\ln (x+\sqrt {{x}^{2}+1})$，计算$f(-x)$，即$f(-x)=\ln (-x+\sqrt {{(-x)}^{2}+1})$。
步骤 3：验证$f(-x)=-f(x)$
验证$f(-x)=-f(x)$，即验证$\ln (-x+\sqrt {{(-x)}^{2}+1})=-\ln (x+\sqrt {{x}^{2}+1})$。
步骤 4：利用对数性质
利用对数的性质，$\ln a + \ln b = \ln(ab)$，将$f(-x)$和$-f(x)$相加，验证是否等于0。
步骤 5：计算验证
计算$\ln (-x+\sqrt {{(-x)}^{2}+1})+\ln (x+\sqrt {{x}^{2}+1})$，利用对数性质，得到$\ln((-x+\sqrt {{(-x)}^{2}+1})(x+\sqrt {{x}^{2}+1}))$，进一步化简为$\ln(1)$，即0。