波长 lambda = 500 mathrm(~nm) 的单色光垂直照射到宽度 a = 0.25 mathrm(~mm) 的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹。今测得屏幕上中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为 d = 12 mathrm(~mm)，则凸透镜的焦距 f 为()A. 2 mathrm(~m)B. 1 mathrm(~m)C. 0.5 mathrm(~m)D. 0.2 mathrm(~m)

考查要点：本题主要考查单缝衍射的规律及其几何应用，涉及光波的衍射现象、暗条纹条件以及几何光学中的成像关系。

解题核心思路：

1. 单缝衍射暗条纹条件：单缝宽度 $a$ 与衍射角 $\theta$ 满足 $a \sin\theta = k\lambda$（$k=1,2,3,\dots$）。
2. 几何关系：在焦平面上，衍射图样中暗条纹的位置可通过 $\tan\theta \approx \sin\theta = y/f$ 近似，其中 $y$ 是屏幕上的偏离距离，$f$ 是焦距。
3. 总距离计算：两侧第 $k$ 级暗条纹的总距离为 $d = 2 \cdot k \lambda f / a$，代入已知量求解 $f$。

破题关键点：

• 明确“第三个暗条纹”对应 $k=3$，总距离需考虑两侧对称位置。
• 正确建立衍射条件与几何关系的联系，注意单位换算。

步骤1：确定单缝衍射暗条纹条件

单缝衍射中，第 $k$ 级暗条纹满足：
$a \sin\theta = k\lambda$
其中 $\theta$ 是衍射角，$k$ 为整数。

步骤2：建立几何关系

在焦平面上，暗条纹的位置 $y$ 满足 $\tan\theta \approx \sin\theta = y/f$，代入衍射条件得：
$y = \frac{k\lambda f}{a}$

步骤3：计算总距离

两侧第3级暗条纹的总距离为：
$d = 2 \cdot y = 2 \cdot \frac{3\lambda f}{a} = \frac{6\lambda f}{a}$

步骤4：代入已知量求解

已知 $\lambda = 500 \, \text{nm} = 500 \times 10^{-9} \, \text{m}$，$a = 0.25 \, \text{mm} = 0.25 \times 10^{-3} \, \text{m}$，$d = 12 \, \text{mm} = 0.012 \, \text{m}$，代入公式：
$0.012 = \frac{6 \cdot 500 \times 10^{-9} \cdot f}{0.25 \times 10^{-3}}$
化简得：
$f = \frac{0.012 \cdot 0.25 \times 10^{-3}}{6 \cdot 500 \times 10^{-9}} = 1 \, \text{m}$