题目
5.设{}x=e^u+usinv,y=e^u-ucosv,.
5.设$\left\{\begin{matrix}x=e^{u}+usinv,\\y=e^{u}-ucosv,\end{matrix}\right.$求$u_{x}$,$u_{y}$,$v_{x}$,$v_{y}$.
题目解答
答案
对给定方程组 $x = e^u + u \sin v$ 和 $y = e^u - u \cos v$，求偏导数 $u_x, u_y, v_x, v_y$。
1. 计算雅可比行列式 $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = u(1 + e^u(\sin v - \cos v))$。
2. 利用隐函数求导法则，得：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
u_x = \frac{\sin v}{1 + e^u(\sin v - \cos v)}, & u_y = \frac{-\cos v}{1 + e^u(\sin v - \cos v)}, \\
v_x = \frac{\cos v - e^u}{u(1 + e^u(\sin v - \cos v))}, & v_y = \frac{e^u + \sin v}{u(1 + e^u(\sin v - \cos v))}.
\end{array}
}
\]