题目
两个同方向,同频率简谐振动x1,x2的振动图像如图1所示。(1)求两简谐振动的相位差; (2)若已知两简谐振动的振幅x1,x2和角频率x1,x2,请写出它们的振动方程并求合振动方程。x1,x2
两个同方向,同频率简谐振动
的振动图像如图1所示。
(1)求两简谐振动的相位差;
(2)若已知两简谐振动的振幅
和角频率
,请写出它们的振动方程并求合振动方程。
题目解答
答案
(1)观察振动图像，可以看到
振动图像相对于
振动图像向右平移了四分之一个周期，在简谐振动中，相位差表示两个振动在相同时间点的相位之差，以弧度或度为单位，由于向右平移了四分之一个周期，所以和的相位差为
(或
)，且滞后于
。
(2)对于简谐振动，其振动方程一般为
，
根据题目和图像，和
的振动方程:
,
,利用三角函数的和差化积公式，则合振动方程:
。
所以，合振动方程为
。
解析
步骤 1：确定相位差
观察振动图像，可以看到x2振动图像相对于x1振动图像向右平移了四分之一个周期。在简谐振动中，相位差表示两个振动在相同时间点的相位之差，以弧度或度为单位。由于x2向右平移了四分之一个周期，所以x1和x2的相位差为$\dfrac {\pi }{2}$(或${90}^{\circ }$)，且x2滞后于x1。
步骤 2：写出振动方程
对于简谐振动，其振动方程一般为$x=A\sin (\omega t+\varphi )$，其中A是振幅，$\omega$是角频率，$\varphi$是初相位。
根据题目和图像，x1和x2的振动方程:
${x}_{1}=A\sin \omega t$,
${x}_{2}=A\sin (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 3：求合振动方程
利用三角函数的和差化积公式，则合振动方程:
$x={x}_{1}+{x}_{2}=A\sin \omega t+A\sin (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$$=A\sin \omega t-A\cos \omega t$$=\sqrt {2}A\sin (\omega t-\dfrac {\pi }{4})$。
观察振动图像，可以看到x2振动图像相对于x1振动图像向右平移了四分之一个周期。在简谐振动中，相位差表示两个振动在相同时间点的相位之差，以弧度或度为单位。由于x2向右平移了四分之一个周期，所以x1和x2的相位差为$\dfrac {\pi }{2}$(或${90}^{\circ }$)，且x2滞后于x1。
步骤 2：写出振动方程
对于简谐振动，其振动方程一般为$x=A\sin (\omega t+\varphi )$，其中A是振幅，$\omega$是角频率，$\varphi$是初相位。
根据题目和图像，x1和x2的振动方程:
${x}_{1}=A\sin \omega t$,
${x}_{2}=A\sin (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 3：求合振动方程
利用三角函数的和差化积公式，则合振动方程:
$x={x}_{1}+{x}_{2}=A\sin \omega t+A\sin (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$$=A\sin \omega t-A\cos \omega t$$=\sqrt {2}A\sin (\omega t-\dfrac {\pi }{4})$。