题目

均匀带电球壳的内径为 6 , (cm), 外径为 10 , (cm), 体电荷密度为 2 times 10^-5 , (C) cdot (m)^-3. 试求距球心 5 , (cm), 8 , (cm) 及 12 , (cm) 的各点的电场强度.

均匀带电球壳的内径为 $6 \, \text{cm}$, 外径为 $10 \, \text{cm}$, 体电荷密度为 $2 \times 10^{-5} \, \text{C} \cdot \text{m}^{-3}$. 试求距球心 $5 \, \text{cm}$, $8 \, \text{cm}$ 及 $12 \, \text{cm}$ 的各点的电场强度.

题目解答

答案

1. 当 $ r = 5 \, \text{cm} $ 时，$ r < r_1 $，高斯面内 $ Q_{\text{enc}} = 0 $，故 $ E = 0 $。 2. 当 $ r = 8 \, \text{cm} $ 时，$ Q_{\text{enc}} = \frac{4\pi \rho}{3} (r^3 - r_1^3) \approx 24.8 \times 10^{-9} \, \text{C} $， \[ E = \frac{Q_{\text{enc}}}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \approx \frac{24.8 \times 10^{-9}}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.0064} \approx 3.48 \times 10^4 \, \text{N/C}. \] 3. 当 $ r = 12 \, \text{cm} $ 时，$ Q_{\text{total}} = \frac{4\pi \rho}{3} (r_2^3 - r_1^3) \approx 6.57 \times 10^{-8} \, \text{C} $， \[ E = \frac{Q_{\text{total}}}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \approx \frac{6.57 \times 10^{-8}}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.0144} \approx 4.10 \times 10^4 \, \text{N/C}. \] 最终结果： - $ r = 5 \, \text{cm} $：$ E = 0 $。 - $ r = 8 \, \text{cm} $：$ E \approx 3.48 \times 10^4 \, \text{N/C} $，方向沿半径向外。 - $ r = 12 \, \text{cm} $：$ E \approx 4.10 \times 10^4 \, \text{N/C} $，方向沿半径向外。

解析

本题考查利用高斯定理求解均匀带电球壳的电场强度。解题思路是根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$，由于球壳具有球对称性，电场强度方向沿径向，且在以球心为中心的同一球面上电场强度大小处处相等，所以可选取以球心为中心、半径为$r$的球面作为高斯面，通过计算高斯面内所包围的电荷量$Q_{enc}$，进而求出电场强度$E$。具体步骤如下：

  1. 当$r = 5 \, \text{cm}$时：
    • 已知球壳内径$r_1 = 6 \, \text{cm}$，此时$r < r_1$，说明该点位于球壳的空心部分。
    • 因为空心部分没有电荷分布，所以高斯面内所包围的电荷量$Q_{enc} = 0$。
    • 根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$，将$Q_{enc} = 0$代入可得$E\cdot 4\pi r^2 = 0$，所以$E = 0$。
  2. 当$r = 8 \, \text{cm}$时：
    • 已知球壳内径$r_1 = 6 \, \text{cm}$，外径$r_2 = 10 \, \text{cm}$，体电荷密度$\rho = 2 \times 10^{-5} \, \text{C} \cdot \text{m}^{-3}$，此时$r_1 < r < r_2$，说明该点位于球壳内部。
    • 高斯面内所包围的电荷量$Q_{enc}$为半径从$r_1$到$r$的球壳体积内的电荷量，根据球体体积公式$V=\frac{4}{3}\pi r^3$，可得$Q_{enc}=\rho\cdot V=\rho\cdot\frac{4\pi}{3}(r^3 - r_1^3)$。
    • 将$\rho = 2 \times 10^{-5} \, \text{C} \cdot \text{m}^{-3}$，$r = 0.08 \, \text{m}$，$r_1 = 0.06 \, \text{m}$代入上式可得：
      $\begin{align*}Q_{enc}&=\frac{4\pi\times 2\times 10^{-5}}{3}\times((0.08)^3 - (0.06)^3)\\&=\frac{8\pi\times 10^{-5}}{3}\times(0.000512 - 0.000216)\\&=\frac{8\pi\times 10^{-5}}{3}\times 0.000296\\&\approx 24.8 \times 10^{-9} \, \text{C}\end{align*}$
    • 根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$，可得$E = \frac{Q_{enc}}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$。
    • 已知$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$，$r = 0.08 \, \text{m}$，$Q_{enc} \approx 24.8 \times 10^{-9} \, \text{C}$，代入上式可得：
      $\begin{align*}E&=\frac{24.8 \times 10^{-9}}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.08)^2}\\&=\frac{24.8 \times 10^{-9}}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.0064}\\&\approx 3.48 \times 10^4 \, \text{N/C}\end{align*}$
    • 由于球壳带正电，电场强度方向沿半径向外。
  3. 当$r = 12 \, \text{cm}$时：
    • 此时$r > r_2$，说明该点位于球壳外部。
    • 高斯面内所包围的电荷量$Q_{total}$为整个球壳的电荷量，即$Q_{total}=\rho\cdot V=\rho\cdot\frac{4\pi}{3}(r_2^3 - r_1^3)$。
    • 将$\rho = 2 \times 10^{-5} \, \text{C} \cdot \text{m}^{-3}$，$r_2 = 0.1 \, \text{m}$，$r_1 = 0.06 \, \text{m}$代入上式可得：
      $\begin{align*}Q_{total}&=\frac{4\pi\times 2\times 10^{-5}}{3}\times((0.1)^3 - (0.06)^3)\\&=\frac{8\pi\times 10^{-5}}{3}\times(0.001 - 0.000216)\\&=\frac{8\pi\times 10^{-5}}{3}\times 0.000784\\&\approx 6.57 \times 10^{-8} \, \text{C}\end{align*}$
    • 根据高斯定理$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{total}}{\varepsilon_0}$，可得$E = \frac{Q_{total}}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$。
    • 已知$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$，$r = 0.12 \, \text{m}$，$Q_{total} \approx 6.57 \times 10^{-8} \, \text{C}$，代入上式可得：
      $\begin{align*}E&=\frac{6.57 \times 10^{-8}}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.12)^2}\\&=\frac{6.57 \times 10^{-8}}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.0144}\\&\approx 4.10 \times 10^4 \, \text{N/C}\end{align*}$
    • 由于球壳带正电，电场强度方向沿半径向外。