题目
质点在O-xy坐标系内作圆周运动,其运动方程为overrightarrow (r)=(3+5cos 2t)overrightarrow (t)+5sin 2toverrightarrow (j)则圆心的x坐标()。
质点在O-xy坐标系内作圆周运动,其运动方程为
则圆心的x坐标()。
题目解答
答案
给定质点的运动方程为
这里 
是单位切向量，
是单位法向量。
根据这个运动方程，质点的位置矢量
在直角坐标系中的表示是：
其中，
是单位向量沿着 ( x ) 轴的方向，是单位向量沿着 ( y ) 轴的方向。
要求圆心的 ( x ) 坐标，即 ( x(t) ) 的表达式为：
因此，圆心的 ( x ) 坐标为
。
解析
步骤 1：分析质点的运动方程
质点的运动方程为$\overrightarrow {r}=(3+5\cos 2t)\overrightarrow {t}+5\sin 2t\overrightarrow {j}$，其中$\overrightarrow {t}$和$\overrightarrow {j}$分别是沿x轴和y轴的单位向量。
步骤 2：确定质点的位置矢量
根据运动方程，质点的位置矢量$\overrightarrow {r}$在直角坐标系中的表示是：$\overrightarrow {r}(t)=(3+5\cos 2t)\overrightarrow {i}+5\sin 2t\overrightarrow {j}$，其中$\overrightarrow {i}$是沿x轴的单位向量，$\overrightarrow {j}$是沿y轴的单位向量。
步骤 3：求圆心的x坐标
质点的位置矢量$\overrightarrow {r}(t)$的x坐标为$x(t)=3+5\cos 2t$。由于$\cos 2t$的取值范围是[-1, 1]，所以$x(t)$的取值范围是[3-5, 3+5]，即[-2, 8]。但是，圆心的x坐标是质点运动轨迹的中心，即$x(t)$的平均值，因此圆心的x坐标为3。
质点的运动方程为$\overrightarrow {r}=(3+5\cos 2t)\overrightarrow {t}+5\sin 2t\overrightarrow {j}$，其中$\overrightarrow {t}$和$\overrightarrow {j}$分别是沿x轴和y轴的单位向量。
步骤 2：确定质点的位置矢量
根据运动方程，质点的位置矢量$\overrightarrow {r}$在直角坐标系中的表示是：$\overrightarrow {r}(t)=(3+5\cos 2t)\overrightarrow {i}+5\sin 2t\overrightarrow {j}$，其中$\overrightarrow {i}$是沿x轴的单位向量，$\overrightarrow {j}$是沿y轴的单位向量。
步骤 3：求圆心的x坐标
质点的位置矢量$\overrightarrow {r}(t)$的x坐标为$x(t)=3+5\cos 2t$。由于$\cos 2t$的取值范围是[-1, 1]，所以$x(t)$的取值范围是[3-5, 3+5]，即[-2, 8]。但是，圆心的x坐标是质点运动轨迹的中心，即$x(t)$的平均值，因此圆心的x坐标为3。