题目
如图所示，一漏斗沿着垂直轴做匀速转动，其内壁上有一个 质量 m 的木块，木块与漏斗间没有相对滑动，木块到转轴的距离为r，与漏斗的静摩擦系数为，漏斗壁与水平方向夹角为 ，若要使木块相对于漏斗静止，则漏斗的最大角速度为（ ）A.；B.;C.;D..
如图所示，一漏斗沿着垂直轴做匀速转动，其内壁上有一个 质量 m 的木块，木块与漏斗间没有相对滑动，木块到转轴的距离为r，与漏斗的静摩擦系数为
，漏斗壁与水平方向夹角为
，若要使木块相对于漏斗静止，则漏斗的最大角速度
为（ ）
A.
；
B.
;
C.
;
D.
.
题目解答
答案
【答案】A
【解析】要求漏斗的最大角速度，且保证木块相对于漏斗静止，此时摩擦力沿漏斗壁向下，
，对木块进行受力分析，如图所示
竖直方向：
，
解得：
;
水平方向：
，（其中F'为向心力），解得：
，又因为
，所以
，选答案A.
解析
步骤 1：确定木块受力情况
木块在漏斗内壁上，受到重力、漏斗壁的支持力和摩擦力的作用。由于木块与漏斗间没有相对滑动，摩擦力沿漏斗壁向下，且摩擦力为最大静摩擦力，即${F}_{f}=\mu {F}_{N}$。
步骤 2：建立竖直方向的平衡方程
竖直方向上，重力与支持力和摩擦力的竖直分量平衡，即$mg={F}_{N}\cos \theta -{F}_{f}\sin \theta$。将${F}_{f}=\mu {F}_{N}$代入，得到$mg={F}_{N}\cos \theta -\mu {F}_{N}\sin \theta$，解得${F}_{N}=\dfrac {mg}{\cos \theta -\mu \sin \theta }$。
步骤 3：建立水平方向的平衡方程
水平方向上，支持力和摩擦力的水平分量提供向心力，即${F}_{N}\sin \theta +{F}_{f}\cos \theta =m{\omega }^{2}r$。将${F}_{f}=\mu {F}_{N}$代入，得到${F}_{N}\sin \theta +\mu {F}_{N}\cos \theta =m{\omega }^{2}r$。将${F}_{N}=\dfrac {mg}{\cos \theta -\mu \sin \theta }$代入，得到$\dfrac {mg(\sin \theta +\mu \cos \theta )}{\cos \theta -\mu \sin \theta }=m{\omega }^{2}r$，解得${\omega }_{max}=\sqrt {\dfrac {(\sin \theta +\mu \cos \theta )g}{(\cos \theta -\mu \sin \theta )r}}$。
木块在漏斗内壁上，受到重力、漏斗壁的支持力和摩擦力的作用。由于木块与漏斗间没有相对滑动，摩擦力沿漏斗壁向下，且摩擦力为最大静摩擦力，即${F}_{f}=\mu {F}_{N}$。
步骤 2：建立竖直方向的平衡方程
竖直方向上，重力与支持力和摩擦力的竖直分量平衡，即$mg={F}_{N}\cos \theta -{F}_{f}\sin \theta$。将${F}_{f}=\mu {F}_{N}$代入，得到$mg={F}_{N}\cos \theta -\mu {F}_{N}\sin \theta$，解得${F}_{N}=\dfrac {mg}{\cos \theta -\mu \sin \theta }$。
步骤 3：建立水平方向的平衡方程
水平方向上，支持力和摩擦力的水平分量提供向心力，即${F}_{N}\sin \theta +{F}_{f}\cos \theta =m{\omega }^{2}r$。将${F}_{f}=\mu {F}_{N}$代入，得到${F}_{N}\sin \theta +\mu {F}_{N}\cos \theta =m{\omega }^{2}r$。将${F}_{N}=\dfrac {mg}{\cos \theta -\mu \sin \theta }$代入，得到$\dfrac {mg(\sin \theta +\mu \cos \theta )}{\cos \theta -\mu \sin \theta }=m{\omega }^{2}r$，解得${\omega }_{max}=\sqrt {\dfrac {(\sin \theta +\mu \cos \theta )g}{(\cos \theta -\mu \sin \theta )r}}$。