题目

*14. 14.已知A=(}-1&32&1=（ ）A.(}5&-11&10)C.(}10&11&5)bigcircA bigcircBbigcircC bigcircD

*14. 14.已知$A=\left(\begin{matrix}-1&3\\2&1\end{matrix}\right)$，则$AA^{T}=$（ ） A.$\left(\begin{matrix}5&-1\\1&10\end{matrix}\right)$ B.$\left(\begin{matrix}5&-1\\1&10\end{matrix}\right)$ C.$\left(\begin{matrix}10&1\\1&5\end{matrix}\right)$ D.$\left(\begin{matrix}8&1\\1&5\end{matrix}\right)$ $\bigcirc$A $\bigcirc$B $\bigcirc$C $\bigcirc$D

题目解答

答案

已知矩阵 $ A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $，其转置矩阵 $ A^T = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $。 计算 $ AA^T $： \[ AA^T = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \times (-1) + 3 \times 3 & (-1) \times 2 + 3 \times 1 \\ 2 \times (-1) + 1 \times 3 & 2 \times 2 + 1 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \] 因此，正确答案为 $\boxed{C}$。

解析

本题考查矩阵乘法的知识。解题思路是是先求出矩阵$A$的转置矩阵$(A^T$，再将矩阵$A$与转置矩阵$A^T$相乘，得到结果。

下面进行详细计算：
已知矩阵$A = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$，根据转置矩阵的定义，将矩阵$A$的行与列互换，可得其转置矩阵$A^T = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$。
根据矩阵乘法的规则，若有矩阵$M = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{pmatrix}$和矩阵$N = \begin{pmatrix}b_{11} b_{12} \\ b_{21} b_{22}\end{pmatrix}$，则它们的乘积$matrix multiplication)为\(MN = \begin{pmatrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21 & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11 + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22\end{pmatrix}$。
所以$AA^T = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}(-1)\times(-1) + 3\times3 & (-1)\times2 + 3\times1 \\ 2\times(-1) + 1\times3 & 2\times2 + 1\times1\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}1 + 9 & -2 + 3 \\ -2 + 3 & 4 + 1\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}10 & 1 \\ 1 & 5\end{pmatrix}$