设 r = sqrt((x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2) 为源点 x' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为从源点指向场点。(1) 证明下列结果，并体会对源变数求微商 ( nabla' = e_x (partial)/(partial x') + e_y (partial)/(partial y') + e_z (partial)/(partial z') ) 与对场变数求微商 ( nabla = e_x (partial)/(partial x) + e_y (partial)/(partial y) + e_z (partial)/(partial z) ) 的关系：

本题主要考察对矢量算符 $\nabla$ 和 $\nabla'$ 的理解与运用，以及对距离函数 $r$ 分别关于场变数和源变数求导的计算，通过对比两者结果来体会它们之间的关系。解题思路是先分别求出 $\nabla r$ 和 $\nabla' r$ 的表达式，再比较它们的关系。

1. 求 $\nabla r$

已知 $r = \sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}$，根据矢量算符 $\nabla = e_x \frac{\partial}{\partial x} + e_y \frac{\partial}{\partial y} + e_z \frac{\partial}{\partial z}$，分别对 $r$ 关于 $x$、$y$、$z$ 求偏导数：

• 对 $x$ 求偏导数：
  根据复合函数求导法则，令 $u=(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2$，则 $r = \sqrt{u}$，$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$。
  $\frac{\partial r}{\partial u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$，$\frac{\partial u}{\partial x}=2(x - x')$，所以 $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x - x'}{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}}=\frac{x - x'}{r}$。
• 对 $y$ 求偏导数：
  同理可得，$\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y - y'}{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}}=\frac{y - y'}{r}$。
• 对 $z$ 求偏导数：
  同理可得，$\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z - z'}{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}}=\frac{z - z'}{r}$。

则 $\nabla r = e_x \frac{\partial r}{\partial x} + e_y \frac{\partial r}{\partial y} + e_z \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{(x - x') e_x + (y - y') e_y + (z - z') e_z}{r}=\frac{\vec{r}}{r}$，其中 $\vec{r}=(x - x') e_x + (y - y') e_y + (z - z') e_z$。

2. 求 $\nabla' r$

根据矢量算符 $\nabla' = e_x \frac{\partial}{\partial x'} + e_y \frac{\partial}{\partial y'} + e_z \frac{\partial}{\partial z'}$，分别对 $r$ 关于 $x'$、$y'$、$z'$ 求偏导数：

• 对 $x'$ 求偏导数：
  令 $u=(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2$，则 $r = \sqrt{u}$，$\frac{\partial r}{\partial x'}=\frac{\partial r}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x'}$。
  $\frac{\partial r}{\partial u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$，$\frac{\partial u}{\partial x'}=-2(x - x')$，所以 $\frac{\partial r}{\partial x'}=-\frac{x - x'}{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}}=-\frac{x - x'}{r}$。
• 对 $y'$ 求偏导数：
  同理可得，$\frac{\partial r}{\partial y'}=-\frac{y - y'}{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}}=-\frac{y - y'}{r}$。
• 对 $z'$ 求偏导数：
  同理可得，$\frac{\partial r}{\partial z'}=-\frac{z - z'}{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}}=-\frac{z - z'}{r}$。

则 $\nabla' r = e_x \frac{\partial r}{\partial x'} + e_y \frac{\partial r}{\partial y'} + e_z \frac{\partial r}{\partial z'}=-\frac{(x - x') e_x + (y - y') e_y + (z - z') e_z}{r}=-\frac{\vec{r}}{r}$。

3. 比较 $\nabla r$ 和 $\nabla' r$ 的关系

由上述计算可知，$\nabla' r = -\nabla r$。这表明对源点和场点求导的结果互为相反数，反映了 $r$ 在源点和场点的变化方向相反。