两个质量均为m的质点A和B连在一个劲度系数为k的弹簧的两端．开始两质点静放在光滑的水平面上，弹簧处于原长，然后沿AB方向给B以恒力ka，求两质点的运动学方程．

考查要点：本题主要考查连接体在弹簧作用下的受迫振动与匀加速运动的叠加问题，涉及牛顿运动定律、简谐振动方程以及参考系变换的应用。

解题核心思路：

1. 分解运动：将两质点的运动分解为质心的匀加速运动和相对振动的叠加。
2. 质心运动：外力作用下质心产生匀加速运动，加速度由总外力和总质量决定。
3. 相对振动：在质心参考系中，两质点的相对运动由弹簧的弹力主导，形成简谐振动。
4. 初始条件：利用初始时刻弹簧处于原长且静止，确定振动的相位和振幅。

破题关键点：

• 质心加速度：通过总外力计算质心加速度。
• 相对运动方程：建立相对坐标下的微分方程，结合初始条件求解振动形式。
• 叠加原理：将质心运动与相对振动叠加，得到各质点的运动学方程。

质心运动分析

系统总质量为$2m$，外力为$F=ka$，质心加速度为：
$a_{\text{cm}} = \frac{F}{2m} = \frac{ka}{2m}$
质心的运动学方程为：
$x_{\text{cm}}(t) = \frac{1}{2} a_{\text{cm}} t^2 = \frac{1}{8} a \omega^2 t^2 \quad (\text{其中} \ \omega^2 = \frac{2k}{m})$

相对运动分析

设相对位移为$x(t) = x_B(t) - x_A(t)$，根据牛顿第二定律，相对运动方程为：
$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx + \text{惯性力项}$
在质心参考系中，等效质量为$\frac{m}{2}$，方程化简为：
$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \quad (\omega^2 = \frac{2k}{m})$
结合初始条件$x(0)=0$，$\dot{x}(0)=0$，解得：
$x(t) = \frac{a}{2}(1 - \cos\omega t)$

叠加运动学方程

质点$A$和$B$的运动为质心运动与相对振动的叠加：
$\begin{aligned}x_A(t) &= x_{\text{cm}}(t) - \frac{1}{2}x(t) \\x_B(t) &= x_{\text{cm}}(t) + \frac{1}{2}x(t)\end{aligned}$
代入表达式得：
$\begin{aligned}x_A(t) &= \frac{1}{8}a\omega^2 t^2 - \frac{1}{4}a(1 - \cos\omega t) \\x_B(t) &= \frac{1}{8}a\omega^2 t^2 + \frac{1}{4}a(1 - \cos\omega t)\end{aligned}$