题目
例2.16 如图2.33所示,求质量为m、半径为R的圆环对通过中心并与此-|||-圆面垂直的转轴的转动惯量.设圆环质量均匀分布.若不是圆环,而是质量为M-|||-且质量均匀分布的圆盘,则结果又如何?-|||-4-|||-R-|||-dm dr-|||-0 R o r-|||-(a) (b)
题目解答
答案
解析
步骤 1：圆环的转动惯量计算
- 圆环的质量均匀分布，因此可以将圆环视为一系列质元的集合，每个质元的质量为dm。
- 圆环的半径为R，每个质元到转轴的距离也是R。
- 根据转动惯量的定义，$I = \int r^2 dm$，其中r是质元到转轴的距离，dm是质元的质量。
- 对于圆环，$r = R$，因此$I = \int R^2 dm = R^2 \int dm = R^2 m$。
步骤 2：圆盘的转动惯量计算
- 圆盘的质量均匀分布，质量面密度为$\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$。
- 取半径为r、宽为dr的小环，小环的面积为$2\pi r dr$，因此小环的质量为$dm = \sigma 2\pi r dr$。
- 小环的转动惯量为$dI = r^2 dm = r^2 \sigma 2\pi r dr = 2\pi \sigma r^3 dr$。
- 整个圆盘的转动惯量为$I = \int dI = \int_0^R 2\pi \sigma r^3 dr$。
- 将$\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$代入上式，得$I = \int_0^R 2\pi \frac{M}{\pi R^2} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} \int_0^R r^3 dr$。
- 计算积分，得$I = \frac{2M}{R^2} \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R = \frac{2M}{R^2} \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2}MR^2$。
- 圆环的质量均匀分布，因此可以将圆环视为一系列质元的集合，每个质元的质量为dm。
- 圆环的半径为R，每个质元到转轴的距离也是R。
- 根据转动惯量的定义，$I = \int r^2 dm$，其中r是质元到转轴的距离，dm是质元的质量。
- 对于圆环，$r = R$，因此$I = \int R^2 dm = R^2 \int dm = R^2 m$。
步骤 2：圆盘的转动惯量计算
- 圆盘的质量均匀分布，质量面密度为$\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$。
- 取半径为r、宽为dr的小环，小环的面积为$2\pi r dr$，因此小环的质量为$dm = \sigma 2\pi r dr$。
- 小环的转动惯量为$dI = r^2 dm = r^2 \sigma 2\pi r dr = 2\pi \sigma r^3 dr$。
- 整个圆盘的转动惯量为$I = \int dI = \int_0^R 2\pi \sigma r^3 dr$。
- 将$\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$代入上式，得$I = \int_0^R 2\pi \frac{M}{\pi R^2} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} \int_0^R r^3 dr$。
- 计算积分，得$I = \frac{2M}{R^2} \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R = \frac{2M}{R^2} \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2}MR^2$。