题目
4、光滑水平面上有一质量为m=1kg的物体，在力vec(F)=(1+x)vec(i) (SI)作用下由静止开始运动，当物体从x₁处运动到x₂处，在此过程中物体的动能增量为: ( ) (A)(x_(1)+(x_(1)^2)/(2))-(x_(2)+(x_(2)^2)/(2)) (B)(x_(2)+(x_(2)^2)/(2))-(x_(1)+(x_(1)^2)/(2)) (C)(x_(1)+(x_(1)^2)/(2)) (D)(x_(2)+(x_(2)^2)/(2)) A (A.) B (B.) C (C.) D (D.)
4、光滑水平面上有一质量为m=1kg的物体，在力$\vec{F}=(1+x)\vec{i}$ (SI)作用下由静止开始运动，当物体从x₁处运动到x₂处，在此过程中物体的动能增量为: ( ) (A)$(x_{1}+\frac{x_{1}^{2}}{2})-(x_{2}+\frac{x_{2}^{2}}{2})$ (B)$(x_{2}+\frac{x_{2}^{2}}{2})-(x_{1}+\frac{x_{1}^{2}}{2})$ (C)$(x_{1}+\frac{x_{1}^{2}}{2})$ (D)$(x_{2}+\frac{x_{2}^{2}}{2})$ A (
A.) B (
B.) C (
C.) D (
D.)
A.) B (
B.) C (
C.) D (
D.)
题目解答
答案
为了确定当物体从 $ x_1 $ 处运动到 $ x_2 $ 处时物体动能的增量，我们需要使用功-动能定理。功-动能定理指出，作用在物体上的合外力所做的功等于物体动能的增量。
作用在物体上的力由 $\vec{F} = (1 + x)\vec{i}$ 给出。由于力只沿x方向作用，力所做的功 $ W $ 可以通过力在位移上的积分来计算：
\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F_x \, dx \]
这里，$ F_x = 1 + x $。因此，功 $ W $ 为：
\[ W = \int_{x_1}^{x_2} (1 + x) \, dx \]
我们可以将这个积分分解为两个更简单的积分：
\[ W = \int_{x_1}^{x_2} 1 \, dx + \int_{x_1}^{x_2} x \, dx \]
第一个积分是：
\[ \int_{x_1}^{x_2} 1 \, dx = x \bigg|_{x_1}^{x_2} = x_2 - x_1 \]
第二个积分是：
\[ \int_{x_1}^{x_2} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_{x_1}^{x_2} = \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \]
将这两个结果相加，我们得到：
\[ W = (x_2 - x_1) + \left( \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \right) = \left( x_2 + \frac{x_2^2}{2} \right) - \left( x_1 + \frac{x_1^2}{2} \right) \]
根据功-动能定理，力所做的功等于物体动能的增量。因此，物体动能的增量为：
\[ \Delta K = \left( x_2 + \frac{x_2^2}{2} \right) - \left( x_1 + \frac{x_1^2}{2} \right) \]
因此，正确答案是：
$\boxed{B}$
解析
步骤 1：确定力的表达式
物体受到的力为 $\vec{F} = (1 + x)\vec{i}$，其中 $\vec{i}$ 是沿x轴方向的单位向量。
步骤 2：计算力所做的功
根据功-动能定理，力所做的功等于物体动能的增量。力所做的功 $W$ 可以通过力在位移上的积分来计算：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F_x \, dx \] 这里，$ F_x = 1 + x $。因此，功 $W$ 为：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} (1 + x) \, dx \] 我们可以将这个积分分解为两个更简单的积分：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} 1 \, dx + \int_{x_1}^{x_2} x \, dx \] 第一个积分是：\[ \int_{x_1}^{x_2} 1 \, dx = x \bigg|_{x_1}^{x_2} = x_2 - x_1 \] 第二个积分是：\[ \int_{x_1}^{x_2} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_{x_1}^{x_2} = \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \] 将这两个结果相加，我们得到：\[ W = (x_2 - x_1) + \left( \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \right) = \left( x_2 + \frac{x_2^2}{2} \right) - \left( x_1 + \frac{x_1^2}{2} \right) \]
步骤 3：确定动能增量
根据功-动能定理，力所做的功等于物体动能的增量。因此，物体动能的增量为：\[ \Delta K = \left( x_2 + \frac{x_2^2}{2} \right) - \left( x_1 + \frac{x_1^2}{2} \right) \]
物体受到的力为 $\vec{F} = (1 + x)\vec{i}$，其中 $\vec{i}$ 是沿x轴方向的单位向量。
步骤 2：计算力所做的功
根据功-动能定理，力所做的功等于物体动能的增量。力所做的功 $W$ 可以通过力在位移上的积分来计算：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F_x \, dx \] 这里，$ F_x = 1 + x $。因此，功 $W$ 为：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} (1 + x) \, dx \] 我们可以将这个积分分解为两个更简单的积分：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} 1 \, dx + \int_{x_1}^{x_2} x \, dx \] 第一个积分是：\[ \int_{x_1}^{x_2} 1 \, dx = x \bigg|_{x_1}^{x_2} = x_2 - x_1 \] 第二个积分是：\[ \int_{x_1}^{x_2} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_{x_1}^{x_2} = \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \] 将这两个结果相加，我们得到：\[ W = (x_2 - x_1) + \left( \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \right) = \left( x_2 + \frac{x_2^2}{2} \right) - \left( x_1 + \frac{x_1^2}{2} \right) \]
步骤 3：确定动能增量
根据功-动能定理，力所做的功等于物体动能的增量。因此，物体动能的增量为：\[ \Delta K = \left( x_2 + \frac{x_2^2}{2} \right) - \left( x_1 + \frac{x_1^2}{2} \right) \]