题目
一个球形雨滴半径为R，带有电荷量Q，此时它表面的电势为U_1；两个这样的雨滴相遇后合并为一个较大的雨滴，这个雨滴表面的电势为U_2，则((U_2)/(U_1))^3=______。答案取整数。
一个球形雨滴半径为$R$，带有电荷量$Q$，此时它表面的电势为$U_1$；两个这样的雨滴相遇后合并为一个较大的雨滴，这个雨滴表面的电势为$U_2$，则$\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^3=$______。 答案取整数。
题目解答
答案
根据题意，初始电势为 $ U_1 = \frac{kQ}{R} $。两个雨滴合并后，总电荷量为 $ Q' = 2Q $，半径为 $ R' = R \sqrt[3]{2} $。合并后电势为：
\[
U_2 = \frac{k \times 2Q}{R \sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} U_1 = 2^{2/3} U_1
\]
因此：
\[
\left( \frac{U_2}{U_1} \right)^3 = \left( 2^{2/3} \right)^3 = 4
\]
最终结果为：
\[
\boxed{4}
\]
解析
本题主要考察电势的基本公式、电荷守恒以及球体体积与半径的关系，具体思路如下：
步骤1：计算单个雨滴的表面电势
球形导体表面的电势公式为 $U = \frac{kQ}{r}$（$k$为静电力常量，$Q$为电荷量，$r$为半径）。
单个雨滴半径为$R$，电荷量为$Q$，故初始电势：
$U_1 = \frac{kQ}{R}$
步骤2：分析两个雨滴合并后的物理量
- 总电荷量守恒：两个雨滴合并，总电荷量 $Q' = Q + Q = 2Q$。
- 体积守恒：两个雨滴体积之和等于合并后大雨滴的体积。
单个雨滴体积 $V = \frac{4}{3}\pi R^3$，两个雨滴总体积 $2V = \frac{8}{3}\pi R^3$。
设大雨滴半径为$R'$，则 $\frac{4}{3}\pi (R')^3 = \frac{8}{3}\pi R^3$，解得 $(R')^3 = 2R^3$，即 $R' = R\sqrt[3]{2}$。
步骤3：计算合并后雨滴的表面电势
大雨滴电荷量为$2Q$，半径为$R\sqrt[3]{2}$，故电势：
$U_2 = \frac{k(2Q)}{R\sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{kQ}{R} = 2^{1 - \frac{1}{3}} U_1 = 2^{\frac{2}{3}} U_1$
步骤4：计算$\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^3$
$\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^3 = \left(2^{\frac{2}{3}}\right)^3 = 2^2 = 4$