题目

一弹簧振子系统(m, k)，物体离开平衡位置的位移按y(t) = A cos (omega t + varphi)的规律作简谐振动，当其位移y=0时，其动能为______kA^2。

一弹簧振子系统($m, k$)，物体离开平衡位置的位移按$y(t) = A \cos (\omega t + \varphi)$的规律作简谐振动，当其位移$y=0$时，其动能为______$kA^2$。

题目解答

答案

根据简谐振动规律，弹簧振子的总能量为 $ E = \frac{1}{2} k A^2 $。 当 $ y = 0 $ 时，势能 $ U = 0 $，动能 $ K = E $。 由 $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $，可得： \[ K = \frac{1}{2} m (A \omega)^2 = \frac{1}{2} m A^2 \frac{k}{m} = \frac{1}{2} k A^2 \] 因此，当 $ y = 0 $ 时，动能为 $ \frac{1}{2} k A^2 $。 答案：$\frac{1}{2}$

解析

本题考查简谐振动的能量相关知识。解题思路如下：

  1. 首先明确弹簧振子系统的总能量是守恒的，其总能量由动能和势能组成，且总能量的表达式为$E = \frac{1}{2}kA^{2}$，其中$k$是弹簧的劲度系数，$A$是简谐振动的振幅。
  2. 然后根据弹簧振子的势能公式$U=\frac{1}{2}ky^{2}$（其中$y$是物体离开平衡位置的位移），当位移$y = 0$时，计算此时的势能。
  3. 最后根据能量守恒定律$E=K + U$（$K$为动能，$U$为势能），求出位移$y = 0$时的动能。

具体计算过程如下：

  • 计算位移$y = 0$时的势能：
    将$y = 0$代入势能公式$U=\frac{1}{2}ky^{2}$，可得$U=\frac{1}{2}k\times0^{2}=0$。
  • 根据能量守恒定律求动能：
    因为总能量$E = \frac{1}{2}kA^{2}$，且$E=K + U$，$U = 0$，所以$K=E=\frac{1}{2}kA^{2}$。
    题目要求动能为多少$kA^{2}$，所以动能是$\frac{1}{2}kA^{2}$，即答案为$\frac{1}{2}$。