题目
波长为λ的平行单色光垂直照射到劈形膜上,劈尖角为θ,劈形膜的折射率为-|||-n,第k级明条纹与第 k+5 级明纹的间距是 __ 。
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查劈形膜干涉中明条纹间距的计算，涉及光程差、几何关系的应用。
解题核心思路：
- 确定明条纹的条件：垂直入射时，反射光的相位差由光程差和反射引起的相位差共同决定，明条纹对应相位差为奇数倍π。
- 建立光程差与膜厚的关系：通过几何关系将膜厚转化为位置坐标，结合劈尖角θ，得到条纹位置的表达式。
- 计算相邻条纹间距：利用条纹位置的线性分布特性，直接求出相邻条纹间距，进而推广到第k级与第k+5级的间距。
破题关键点：
- 明条纹条件：$2nd = m\lambda$（$m$为整数）。
- 几何关系：膜厚$d = x\theta$，其中$x$为条纹到劈顶的距离。
- 条纹间距公式：相邻条纹间距为$\Delta x = \frac{\lambda}{2n\theta}$，第k级与第k+5级间距为$5\Delta x$。
明条纹条件的推导
- 光程差分析：
光垂直入射到劈形膜，反射光的光程差为$2nd$（$d$为膜厚）。由于光从低折射率（空气，$n=1$）进入高折射率（膜，$n$），上表面反射光产生$\pi$的相位差，下表面反射光无相位差。总相位差为：
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot 2nd + \pi$ - 干涉加强条件：
明条纹要求总相位差为奇数倍$\pi$，即：
$\frac{2\pi}{\lambda} \cdot 2nd + \pi = (2m + 1)\pi \quad (m \text{为整数})$
化简得：
$2nd = m\lambda \quad \Rightarrow \quad d = \frac{m\lambda}{2n}$
条纹位置与间距的计算
- 几何关系：
劈形膜的厚度$d$与位置$x$满足$d = x\theta$（$\theta$为劈尖角，且$\theta$很小）。代入$d = \frac{m\lambda}{2n}$得：
$x_m = \frac{m\lambda}{2n\theta}$
第$m$级明条纹的位置为$x_m$。 - 相邻条纹间距：
相邻条纹（如第$m$级与第$m+1$级）的间距为：
$\Delta x = x_{m+1} - x_m = \frac{\lambda}{2n\theta}$ - 第k级与第k+5级间距：
两者相差5个相邻间距，故总间距为：
$\Delta x_{\text{总}} = 5 \cdot \frac{\lambda}{2n\theta} = \frac{5\lambda}{2n\theta}$