1-9 如图所示,一根绳子跨过滑轮,绳的一端挂-|||-一重物,一人拉着绳的另一端沿水平路面匀速前进,速-|||-度 u=1m/s 。设滑轮离地高 H=12m ,开始时重物位于-|||-地面,人在滑轮正下方,滑轮、重物和人的大小都忽略。-|||-求:(1)重物在10s时的速度和加速度;(2)重物上升-|||-到滑轮处所需的时间。-|||-x-|||-C-|||-i-|||-H ù-|||-x !-|||-D A-|||-习题 1-9 图

考查要点：本题主要考查运动学中的相关速度与加速度计算，以及运动时间的求解。关键在于理解绳子拉动过程中几何关系的变化，并建立正确的位移表达式。

解题思路：

1. 几何关系分析：通过勾股定理建立重物上升高度与人水平移动距离的关系。
2. 微分法求速度与加速度：对位移表达式求导得到速度，二次求导得到加速度。
3. 方程求解：通过设定位移目标值求解所需时间。

破题关键：

• 正确建立位移表达式：重物上升高度 $y = \sqrt{(ut)^2 + H^2} - H$。
• 导数运算：注意分式求导的链式法则应用。

第（1）题：重物在10秒时的速度和加速度

建立位移表达式

设人水平移动距离为 $x = ut$，根据勾股定理，绳子被拉出的长度为 $\sqrt{x^2 + H^2}$，重物上升高度为：
$y(t) = \sqrt{(ut)^2 + H^2} - H$
代入 $u=1 \, \text{m/s}$，$H=12 \, \text{m}$，得：
$y(t) = \sqrt{t^2 + 144} - 12$

求速度

对 $y(t)$ 求导得速度：
$v(t) = \frac{dy}{dt} = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 144}}$
当 $t=10 \, \text{s}$ 时：
$v(10) = \frac{10}{\sqrt{10^2 + 12^2}} = \frac{10}{\sqrt{244}} \approx 0.64 \, \text{m/s}$

求加速度

对速度 $v(t)$ 再次求导：
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{144}{(t^2 + 144)^{3/2}}$
当 $t=10 \, \text{s}$ 时：
$a(10) = \frac{144}{(10^2 + 12^2)^{3/2}} = \frac{144}{244^{3/2}} \approx 0.038 \, \text{m/s}^2$

第（2）题：重物上升到滑轮处所需时间

设定位移目标

当重物到达滑轮时，$y(t) = 12 \, \text{m}$，代入位移表达式：
$12 = \sqrt{t^2 + 144} - 12$
解得：
$\sqrt{t^2 + 144} = 24 \quad \Rightarrow \quad t^2 = 432 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{432} \approx 20.8 \, \text{s}$