题目

7.计算lim_(xto0)(int_(0)^x^(2)ln(1+t)dt)/((sqrt[3](1+x^3)-1)sin x).

7.计算$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x^{2}}\ln(1+t)dt}{(\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)\sin x}.$

题目解答

答案

为了计算极限 $\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x^{2}}\ln(1+t)dt}{(\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)\sin x}$，我们将使用洛必达法则和一些基本的微积分技巧。让我们一步步进行。 ### 第1步：检查极限形式 首先，我们需要检查当 $x \to 0$ 时，分子和分母的极限形式。 - 分子是 $\int_{0}^{x^{2}}\ln(1+t)dt$。当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，所以积分变为 $\int_{0}^{0}\ln(1+t)dt = 0$。 - 分母是 $(\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)\sin x$。当 $x \to 0$ 时，$\sqrt[3]{1+x^{3}} \to 1$，所以 $\sqrt[3]{1+x^{3}}-1 \to 0$，且 $\sin x \to 0$。因此，分母变为 $0 \cdot 0 = 0$。 由于分子和分母都 tends to 0，我们可以使用洛必达法则。 ### 第2步：应用洛必达法则 为了应用洛必达法则，我们需要对分子和分母关于 $x$ 求导。 - 分子是 $\int_{0}^{x^{2}}\ln(1+t)dt$。使用微积分基本定理，其导数为： \[ \frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x^{2}}\ln(1+t)dt\right) = \ln(1+x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x\ln(1+x^2). \] - 分母是 $(\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)\sin x$。使用乘积法则，其导数为： \[ \frac{d}{dx}\left((\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)\sin x\right) = \left(\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)\right)\sin x + (\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)\left(\frac{d}{dx}(\sin x)\right). \] 首先，我们找到 $\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)$： \[ \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{1+x^{3}}-1) = \frac{1}{3}(1+x^3)^{-2/3} \cdot 3x^2 = x^2(1+x^3)^{-2/3}. \] 因此，分母的导数为： \[ x^2(1+x^3)^{-2/3}\sin x + (\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)\cos x. \] 现在，极限变为： \[ \lim_{x\to0}\frac{2x\ln(1+x^2)}{x^2(1+x^3)^{-2/3}\sin x + (\sqrt[3]{1+x^{3}}-1)\cos x}. \] ### 第3步：简化极限 当 $x \to 0$ 时，我们可以使用近似值： - $\ln(1+x^2) \approx x^2$（因为 $\ln(1+y) \approx y$ 对于小的 $y$）。 - $(1+x^3)^{-2/3} \approx 1$（因为 $(1+y)^n \approx 1+ny$ 对于小的 $y$，所以 $(1+x^3)^{-2/3} \approx 1 - \frac{2}{3}x^3 \approx 1$）。 - $\sin x \approx x$（对于小的 $x$）。 - $\sqrt[3]{1+x^3} - 1 \approx \frac{1}{3}x^3$（因为 $(1+y)^n \approx 1+ny$ 对于小的 $y$，所以 $\sqrt[3]{1+x^3} \approx 1 + \frac{1}{3}x^3$）。 将这些近似值代入极限，我们得到： \[ \lim_{x\to0}\frac{2x \cdot x^2}{x^2 \cdot 1 \cdot x + \frac{1}{3}x^3 \cdot 1} = \lim_{x\to0}\frac{2x^3}{x^3 + \frac{1}{3}x^3} = \lim_{x\to0}\frac{2x^3}{\frac{4}{3}x^3} = \lim_{x\to0}\frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2}. \] 因此，极限是： \[ \boxed{\frac{3}{2}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及洛必达法则的应用，以及积分上限函数的求导和泰勒展开的近似技巧。

解题核心思路：

  1. 判断极限形式：分子为积分，分母为两个函数的乘积，当$x \to 0$时，分子和分母均趋近于$0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式，可使用洛必达法则。
  2. 求导化简：对分子和分母分别求导，利用积分上限函数的求导法则和乘积法则展开。
  3. 近似展开：对导数后的表达式进行泰勒展开或近似，简化计算，最终求得极限值。

破题关键点：

  • 积分上限函数的导数：$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \ln(1+t) dt = 2x \ln(1+x^2)$。
  • 分母的导数分解：需分别对$\sqrt[3]{1+x^3}-1$和$\sin x$求导，并结合乘积法则。
  • 近似技巧：利用$\ln(1+t) \approx t$、$\sqrt[3]{1+x^3} \approx 1+\frac{1}{3}x^3$等展开简化表达式。

第1步：判断极限形式

当$x \to 0$时：

  • 分子：$\int_{0}^{x^2} \ln(1+t) dt \approx \int_{0}^{0} \ln(1+t) dt = 0$。
  • 分母：$\sqrt[3]{1+x^3}-1 \approx \frac{1}{3}x^3$，$\sin x \approx x$，故分母$\approx \frac{1}{3}x^3 \cdot x = \frac{1}{3}x^4$。
    因此，极限为$\frac{0}{0}$型，可应用洛必达法则。

第2步：应用洛必达法则

对分子和分母分别求导：

  • 分子导数：
    $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \ln(1+t) dt = \ln(1+x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \ln(1+x^2).$
  • 分母导数：
    设$A = \sqrt[3]{1+x^3}-1$，$B = \sin x$，则：
    $\frac{d}{dx}(A \cdot B) = A' \cdot B + A \cdot B'.$
    其中：
    • $A' = \frac{1}{3}(1+x^3)^{-2/3} \cdot 3x^2 = \frac{x^2}{(1+x^3)^{2/3}}$，
    • $B' = \cos x$，
      因此分母导数为：
      $\frac{x^2}{(1+x^3)^{2/3}} \sin x + \left( \sqrt[3]{1+x^3}-1 \right) \cos x.$

第3步：近似化简

当$x \to 0$时，使用泰勒展开近似：

  • $\ln(1+x^2) \approx x^2$，
  • $(1+x^3)^{-2/3} \approx 1$，
  • $\sqrt[3]{1+x^3}-1 \approx \frac{1}{3}x^3$，
  • $\sin x \approx x$，$\cos x \approx 1$。

代入后，分子近似为：
$2x \cdot x^2 = 2x^3.$
分母近似为：
$\frac{x^2}{1} \cdot x + \frac{1}{3}x^3 \cdot 1 = x^3 + \frac{1}{3}x^3 = \frac{4}{3}x^3.$
因此，极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{2x^3}{\frac{4}{3}x^3} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2}.$