对于某种气体，包含有 N 个粒子。当气体达到某个平衡态时，其速率分布函数为：f(v)=} C(v_0 geq v geq 0) 0(v > v_0) 。请：(1) 作速率分布曲线；(2) 由 N 和 v_0 求常量 C；(3) 求粒子的平均速率；(4) 求粒子的方均根速率。

本题主要考查气体分子速率分布函数的相关知识，包括速率分布曲线的绘制、分布函数中常量的求解、粒子平均速率和方均根速率的计算。解题的关键在于理解速率分布函数的性质以及掌握平均速率和方均根速率的计算公式。

（1）作速率分布曲线

速率分布函数 $f(v)$ 表示在速率 $v$ 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比例。已知 $f(v)=\begin{cases} C(v_0 \geq v \geq 0) \\ 0(v > v_0) \end{cases}$，这意味着在 $0 \leq v \leq v_0$ 区间内，$f(v)$ 为常数 $C$，在 $v > v_0$ 区间内，$f(v)=0$。所以速率分布曲线在 $0 \leq v \leq v_0$ 范围内是一条高度为 $C$ 的水平线，在 $v > v_0$ 时与 $v$ 轴重合。

（2）由 $N$ 和 $v_0$ 求常量 $C$

根据速率分布函数的归一化条件，即 $\int_{0}^{\infty} f(v)dv = 1$。因为在 $v > v_0$ 时，$f(v)=0$，所以有：
$\int_{0}^{\infty} f(v)dv = \int_{0}^{v_0} C dv + \int_{v_0}^{\infty} 0 dv = \int_{0}^{v_0} C dv$
对 $\int_{0}^{v_0} C dv$ 进行计算，根据积分公式 $\int k dv = kv + C$（$k$ 为常数）可得：
$\int_{0}^{v_0} C dv = Cv\big|_{0}^{v_0} = Cv_0 - C\times0 = Cv_0$
由归一化条件 $\int_{0}^{v_0} C dv = 1$，即 $Cv_0 = 1$，解得 $C = \frac{1}{v_0}$。

（3）求粒子的平均速率

粒子的平均速率 $\langle v \rangle$ 的计算公式为 $\langle v \rangle = \int_{0}^{\infty} vf(v)dv$。同样因为在 $v > v_0$ 时，$f(v)=0$，所以有：
$\langle v \rangle = \int_{0}^{\infty} vf(v)dv = \int_{0}^{v_0} vC dv + \int_{v_0}^{\infty} v\times0 dv = \int_{0}^{v_0} vC dv$
将 $C = \frac{1}{v_0}$ 代入上式得：
$\langle v \rangle = \frac{1}{v_0} \int_{0}^{v_0} v dv$
根据积分公式 $\int v^n dv = \frac{1}{n + 1}v^{n + 1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n = 1$，可得：
$\langle v \rangle = \frac{1}{v_0} \times \frac{1}{2}v^2\big|_{0}^{v_0} = \frac{1}{v_0} \times (\frac{1}{2}v_0^2 - \frac{1}{2}\times0^2) = \frac{v_0}{2}$

（4）求粒子的方均根速率

先求粒子的方均根速率需要先计算 $\langle v^2 \rangle$，其计算公式为 $\langle v^2 \rangle = \int_{0}^{\infty} v^2f(v)dv$。因为在 $v > v_0$ 时，$f(v)=0$，所以有：
$\langle v^2 \rangle = \int_{0}^{\infty} v^2f(v)dv = \int_{0}^{v_0} v^2C dv + \int_{v_0}^{\infty} v^2\times0 dv = \int_{0}^{v_0} v^2C dv$
将 $C = \frac{1}{v_0}$ 代入上式得：
$\langle v^2 \rangle = \frac{1}{v_0} \int_{0}^{v_0} v^2 dv$
根据积分公式 $\int v^n dv = \frac{1}{n + 1}v^{n + 1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n = 2$，可得：
$\langle v^2 \rangle = \frac{1}{v_0} \times \frac{1}{3}v^3\big|_{0}^{v_0} = \frac{1}{v_0} \times (\frac{1}{3}v_0^3 - \frac{1}{3}\times0^3) = \frac{v_0^2}{3}$
则方均根速率为 $\sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{v_0^2}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} v_0$。