题目
设总体 X 服从区间 [-theta, theta] 上均匀分布 (theta > 0)，X_1, ..., X_n 为样本，则 theta 的最大似然估计为()A. max X_1, ..., X_nB. min X_1, ..., X_nC. max |X_1|, ..., |X_n|D. min |X_1|, ..., |X_n|
设总体 $X$ 服从区间 $[-\theta, \theta]$ 上均匀分布 ($\theta > 0$)，$X_1, \cdots, X_n$ 为样本，则 $\theta$ 的最大似然估计为()
A. $\max \{X_1, \cdots, X_n\}$
B. $\min \{X_1, \cdots, X_n\}$
C. $\max \{\left|X_1\right|, \cdots, \left|X_n\right|\}$
D. $\min \{\left|X_1\right|, \cdots, \left|X_n\right|\}$
题目解答
答案
C. $\max \{\left|X_1\right|, \cdots, \left|X_n\right|\}$
解析
步骤 1：定义概率密度函数
总体 $X$ 在区间 $[-\theta, \theta]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta}$，其中 $-\theta \leq x \leq \theta$。
步骤 2：构造似然函数
给定样本 $X_1, \cdots, X_n$，似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta) = \left( \frac{1}{2\theta} \right)^n$，其中 $-\theta \leq X_i \leq \theta$ 对所有 $i$ 成立。
步骤 3：确定 $\theta$ 的取值范围
为了使似然函数 $L(\theta)$ 有意义，必须满足 $-\theta \leq X_i \leq \theta$ 对所有 $i$ 成立，即 $\theta \geq \max\{|X_1|, |X_2|, \ldots, |X_n|\}$。
步骤 4：确定最大似然估计
由于 $L(\theta)$ 是 $\theta$ 的递减函数，最大似然估计为满足条件的最小 $\theta$，即 $\hat{\theta} = \max\{|X_1|, |X_2|, \ldots, |X_n|\}$。
总体 $X$ 在区间 $[-\theta, \theta]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta}$，其中 $-\theta \leq x \leq \theta$。
步骤 2：构造似然函数
给定样本 $X_1, \cdots, X_n$，似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta) = \left( \frac{1}{2\theta} \right)^n$，其中 $-\theta \leq X_i \leq \theta$ 对所有 $i$ 成立。
步骤 3：确定 $\theta$ 的取值范围
为了使似然函数 $L(\theta)$ 有意义，必须满足 $-\theta \leq X_i \leq \theta$ 对所有 $i$ 成立，即 $\theta \geq \max\{|X_1|, |X_2|, \ldots, |X_n|\}$。
步骤 4：确定最大似然估计
由于 $L(\theta)$ 是 $\theta$ 的递减函数，最大似然估计为满足条件的最小 $\theta$，即 $\hat{\theta} = \max\{|X_1|, |X_2|, \ldots, |X_n|\}$。