直线L_(1):} x+2y-z-7=0 -2x+y+z-7=0 为异面直线

考查要点：本题主要考查空间直线的位置关系判断，涉及方向向量的求解、直线间平行性判定及重合性验证。

解题核心思路：

1. 确定两条直线的方向向量：通过两平面方程的法向量叉积计算。
2. 判断方向向量关系：若方向向量平行，则直线可能平行或重合。
3. 验证是否重合：取直线上的某一点代入另一条直线的方程，若不满足则为平行。

破题关键点：

• 方向向量的计算需准确应用叉积公式。
• 平行性判定需确认方向向量成比例关系。
• 重合性验证需通过具体点的代入检验。

直线$L_1$的方向向量$\mathbf{d}_1$

$L_1$由平面$x+2y-z-7=0$和$-2x+y+z-7=0$的交线构成。两平面法向量分别为$\mathbf{n}_1=(1,2,-1)$和$\mathbf{n}_2=(-2,1,1)$，方向向量为叉积：
$\mathbf{d}_1 = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & 2 & -1 \\-2 & 1 & 1\end{vmatrix} = (3,1,5).$

直线$L_2$的方向向量$\mathbf{d}_2$

$L_2$由平面$3x+6y-3z-8=0$和$2x-y-z=0$的交线构成。两平面法向量分别为$\mathbf{n}_3=(3,6,-3)$和$\mathbf{n}_4=(2,-1,-1)$，方向向量为叉积：
$\mathbf{d}_2 = \mathbf{n}_3 \times \mathbf{n}_4 = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\3 & 6 & -3 \\2 & -1 & -1\end{vmatrix} = (-9,-3,-15) = -3\mathbf{d}_1.$

判断直线关系

1. 方向向量平行：$\mathbf{d}_2 = -3\mathbf{d}_1$，说明两直线方向相同或相反。
2. 验证是否重合：取$L_2$上的点$(0, \frac{8}{9}, -\frac{8}{9})$代入$L_1$的方程：
   • 第一方程：$0 + 2 \cdot \frac{8}{9} - (-\frac{8}{9}) -7 = \frac{24}{9} -7 \neq 0$，不满足。
   • 因此，两直线不重合，平行。