题目
如图1所示,一束白色平行光垂直照射在单缝K上。单缝的-|||-宽度为a,薄透镜L的焦距为f,焦点为O点。在屏E上建立Ox轴,-|||-(1)如k级明纹的位置坐标xk满足 dfrac ({x)_(k)}(f)lt 1 ,证明: _(k)approx fdfrac ((2k+1))(2)dfrac (lambda )(a) 。-|||-(2)如 a=0.5mm ,f=0.5m ,已知白光的波长范围为 leqslant lambda leqslant -|||-760nm。求在屏E上 _(k)=1.5mm 处满足明纹条件所对应的波长-|||-与相应的条纹级次。-|||-x-|||-xk-|||-ō-|||-f-|||-K L E-|||-图 1
题目解答
答案
解析
步骤 1：单缝衍射的明纹条件
单缝衍射的明纹条件是 $a\sin {\theta }_{k}=(2k+1)\lambda /2$ ，其中 $a$ 是单缝宽度，$\lambda $ 是光的波长，$k$ 是明纹级次，${\theta }_{k}$ 是衍射角。
步骤 2：明纹位置的表达式
明纹位置 ${x}_{k}=f\tan {\theta }_{k}$ ，其中 $f$ 是薄透镜的焦距。
步骤 3：小角近似
由题意 $\tan {\theta }_{k}=\dfrac {{x}_{k}}{f}\lt 1$ ，即衍射角 ${\theta }_{k}$ 很小，可以使用小角近似 $\tan {\theta }_{k}\approx \sin {\theta }_{k}$ 。
步骤 4：明纹位置的近似表达式
将小角近似代入明纹位置的表达式，得到 ${x}_{k}\approx f\sin {\theta }_{k}$ 。再将明纹条件代入，得到 ${x}_{k}\approx f\dfrac {(2k+1)}{2}\dfrac {\lambda }{a}$ 。
步骤 5：计算满足明纹条件的波长和级次
已知 $a=0.5mm$ ，$f=0.5m$ ，${x}_{k}=1.5mm$ ，代入 ${x}_{k}\approx f\dfrac {(2k+1)}{2}\dfrac {\lambda }{a}$ ，得到 $\lambda =\dfrac {2a{x}_{k}}{f(2k+1)}$ 。将已知数值代入，得到 $\lambda =\dfrac {2\times 0.5\times {10}^{-3}\times 1.5\times {10}^{-3}}{0.5\times (2k+1)}m=\dfrac {3\times {10}^{-6}}{(2k+1)}m$ 。计算得 $k=2$ ，$\lambda =600nm$ ；$k=3$ ，$\lambda =429nm$ 。
单缝衍射的明纹条件是 $a\sin {\theta }_{k}=(2k+1)\lambda /2$ ，其中 $a$ 是单缝宽度，$\lambda $ 是光的波长，$k$ 是明纹级次，${\theta }_{k}$ 是衍射角。
步骤 2：明纹位置的表达式
明纹位置 ${x}_{k}=f\tan {\theta }_{k}$ ，其中 $f$ 是薄透镜的焦距。
步骤 3：小角近似
由题意 $\tan {\theta }_{k}=\dfrac {{x}_{k}}{f}\lt 1$ ，即衍射角 ${\theta }_{k}$ 很小，可以使用小角近似 $\tan {\theta }_{k}\approx \sin {\theta }_{k}$ 。
步骤 4：明纹位置的近似表达式
将小角近似代入明纹位置的表达式，得到 ${x}_{k}\approx f\sin {\theta }_{k}$ 。再将明纹条件代入，得到 ${x}_{k}\approx f\dfrac {(2k+1)}{2}\dfrac {\lambda }{a}$ 。
步骤 5：计算满足明纹条件的波长和级次
已知 $a=0.5mm$ ，$f=0.5m$ ，${x}_{k}=1.5mm$ ，代入 ${x}_{k}\approx f\dfrac {(2k+1)}{2}\dfrac {\lambda }{a}$ ，得到 $\lambda =\dfrac {2a{x}_{k}}{f(2k+1)}$ 。将已知数值代入，得到 $\lambda =\dfrac {2\times 0.5\times {10}^{-3}\times 1.5\times {10}^{-3}}{0.5\times (2k+1)}m=\dfrac {3\times {10}^{-6}}{(2k+1)}m$ 。计算得 $k=2$ ，$\lambda =600nm$ ；$k=3$ ，$\lambda =429nm$ 。