设总体 X sim N(0, sigma^2)，X_1, X_2, ldots, X_(10) 是来自总体的样本，当 a= 时，统计量 Y=(a(X_1+X_2+X_3+X_4))/(sqrt(X_5^2+...+X_(10)^2)) 服从 t 分布，自由度为（) 6。A. (2)/(2), 1B. (sqrt(6))/(2), 6C. (sqrt(6))/(2), 1D. (2)/(sqrt(6)), 6

本题考查知识点为正态分布、$\chi^{2}$分布以及$t$分布的定义和性质，解题思路是先根据正态分布的性质求出分子部分的分布，再根据$\chi^{2}$分布的定义求出求出分母部分的分布，最后结合$t$分布的定义确定$a$的值和自由度。

步骤一：分析分子部分的分布

已知总体$X \sim N(0, \sigma^2)$，且$X_1, X_2, \ldots, X_{10}$是来自总体的样本，根据正态分布的性质：若$X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$，$i = 1,2,\cdots,n$，且相互独立，则$\sum_{i = 1}^{n}X_i\sim N(n\mu,n\^2)$。
对于$X_1 + X_2 + X_3 + X_4$，这里$n = 4$，$\mu = 0$，$\^2=\sigma^2$，所以$X_1 + X_2 + X_ + X_4\sim N(0, 4\sigma^2)$。
再根据正态分布的标准化：若$Z\sim N(\mu,\^2)$，则$\frac{Z - \mu\over\sigma}\sim N(0, 1)$，对$X_1 + X_2 + X_3 + X_4$进行标准化可得：
$\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{4}\sigma}=\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}\sim N(0, 1)$。

步骤二：分析分母部分分布

已知$X_i\sim N(0, \sigma^2)$，$i = 5,6,\cdots,10$，则$\frac{X_i}{\sigma}\sim N(0, 1)$，$i = 5,6,\cdots,10$。
根据$\chi^{2}$分布的定义：若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且都服从标准正态分布$N(0, 1)$，则$\sum_{i = 1n}Z_i^2\sim\chi^{2}(n)$。
对于$\frac{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}{\sigma^2}=\sum_{i = 5}^{10}(\frac{X_i}{\sigma})^2$，这里$n = 6$，所以$\frac{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}{\sigma^2}\sim\chi^{2}(6)$。

步骤三：根据$t$分布的定义确定$a$的值和自由度

$t$分布的定义为：若$U\sim N(0, 1)$，$V\sim\chi^{2}(n)$，且$与\(V$相互独立，则$T=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}\sim t(n)$。
由步骤一可知$U = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}\sim N(0, 1)$，由步骤二可知$V=\frac{X_5^2 + \cdots + X_{10^2}{\sigma^2}\sim\chi^{2}(6)$，且$U$与\(V\相互独立。 那么$Y=\frac{a(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)}{\sqrt{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}}=\frac{a(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)}{\sqrt{\frac{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}{\sigma^2}}}{\sqrt{\frac{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}{\sigma^2}}}$。
要使$Y$服从$t$分布，则$\frac{a(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)}{\sqrt{\frac{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}{\sigma^2}}}=\frac{\frac{a}{2\sigma}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)}{\sqrt{\frac{\frac{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}}{\sigma^2}}{6}}}$。
对比$t$分布的定义，可得$\frac{a}{2\sigma}=1$，即$a = \frac{2\sigma}{\sigma}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，此时自由度为(。