题目

设入射波的表达式为y1=Acos2π(xλ+tT)，在x=0处发生反射，反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求：(1)反射波的表达式．(2)合成的驻波的表达式．(3)波腹和波节的位置．

设入射波的表达式为y1=Acos2π(xλ+tT)，在x=0处发生反射，反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求：

(1)

反射波的表达式．

(2)

合成的驻波的表达式．

(3)

波腹和波节的位置．

题目解答

答案

  • (1)

    y2=−Acos2π(xλ−tT)．

  • (2)

    y=−2Asin2πxλsin2πtT．

  • (3)

    波腹：x=12(k−12)λ，k=1,2,3,⋯

    波节：x=12kλ，k=1,2,3,⋯．

解析

步骤 1：确定反射波的表达式
由于反射点为一固定端，反射波相对于入射波相位差为π，即反射波的表达式为y2=-Acos2π(xλ-tT)。
步骤 2：合成驻波的表达式
将入射波和反射波的表达式相加，得到合成波的表达式y=y1+y2=Acos2π(xλ+tT)-Acos2π(xλ-tT)。利用三角函数的和差化积公式，可以将合成波的表达式化简为y=-2Asin2πxλsin2πtT。
步骤 3：确定波腹和波节的位置
波腹和波节的位置由驻波的表达式确定。波腹的位置满足sin2πxλ=±1，即x=12(k-12)λ，k=1,2,3,⋯。波节的位置满足sin2πxλ=0，即x=12kλ，k=1,2,3,⋯。