题目
8、一质量为 times (10)^-3kg 的物体做谐振动,振幅为24cm,周期为4.0 s,当 t=0 时位移为+-|||-24cm.求:-|||-(1) =0.5s 时,物体所在的位置及此时所受力的大小和方向;-|||-(2)由起始位置运动到 x=12cm 处所需的最短时间;-|||-(3)在 x=12cm 处物体的总能量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定振动方程
根据题目条件，物体做谐振动，振幅 $A=24cm=0.24m$，周期 $T=4.0s$，当 $t=0$ 时位移为 $+24cm$。因此，角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = 0.5\pi \quad rad\cdot s^{-1}$。由于 $t=0$ 时位移为最大值，所以初相位 $\varphi_0 = 0$。因此，振动方程为 $x = 0.24\cos(0.5\pi t)$。
步骤 2：计算 $t=0.5s$ 时物体的位置和所受力
将 $t=0.5s$ 代入振动方程，得到 $x_{0.5} = 0.24\cos(0.5\pi \times 0.5) = 0.24\cos(\frac{\pi}{4}) = 0.24 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.17m$。物体所受力 $F = -m\omega^2x = -10\times 10^{-3} \times (0.5\pi)^2 \times 0.17 = -4.2 \times 10^{-3}N$，方向指向坐标原点，即沿x轴负向。
步骤 3：计算由起始位置运动到 $x=12cm$ 处所需的最短时间
当 $x=12cm=0.12m$ 时，$0.12 = 0.24\cos(0.5\pi t)$，解得 $\cos(0.5\pi t) = \frac{1}{2}$，因此 $0.5\pi t = \frac{\pi}{3}$，解得 $t = \frac{2}{3}s$。
步骤 4：计算在 $x=12cm$ 处物体的总能量
由于谐振动中能量守恒，总能量 $E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-3} \times (0.5\pi)^2 \times (0.24)^2 = 7.1 \times 10^{-4}J$。
根据题目条件，物体做谐振动，振幅 $A=24cm=0.24m$，周期 $T=4.0s$，当 $t=0$ 时位移为 $+24cm$。因此，角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = 0.5\pi \quad rad\cdot s^{-1}$。由于 $t=0$ 时位移为最大值，所以初相位 $\varphi_0 = 0$。因此，振动方程为 $x = 0.24\cos(0.5\pi t)$。
步骤 2：计算 $t=0.5s$ 时物体的位置和所受力
将 $t=0.5s$ 代入振动方程，得到 $x_{0.5} = 0.24\cos(0.5\pi \times 0.5) = 0.24\cos(\frac{\pi}{4}) = 0.24 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.17m$。物体所受力 $F = -m\omega^2x = -10\times 10^{-3} \times (0.5\pi)^2 \times 0.17 = -4.2 \times 10^{-3}N$，方向指向坐标原点，即沿x轴负向。
步骤 3：计算由起始位置运动到 $x=12cm$ 处所需的最短时间
当 $x=12cm=0.12m$ 时，$0.12 = 0.24\cos(0.5\pi t)$，解得 $\cos(0.5\pi t) = \frac{1}{2}$，因此 $0.5\pi t = \frac{\pi}{3}$，解得 $t = \frac{2}{3}s$。
步骤 4：计算在 $x=12cm$ 处物体的总能量
由于谐振动中能量守恒，总能量 $E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-3} \times (0.5\pi)^2 \times (0.24)^2 = 7.1 \times 10^{-4}J$。