30【单选题】不定积分int(sec^2x+1)dx= bigcircA. sec x+xB. sec x+x+CC. tan x+xD. tan x+x+C

考查要点：本题主要考查不定积分的基本计算，特别是对基本积分公式的掌握以及积分常数的处理。

解题核心思路：

1. 拆分积分：利用积分的线性性质，将被积函数拆分为两个简单函数的和。
2. 逐项积分：分别计算$\int \sec^2 x \, dx$和$\int 1 \, dx$，并应用基本积分公式。
3. 合并结果：将两个积分的结果相加，并合并常数项。

破题关键点：

• 熟记基本积分公式：$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$和$\int 1 \, dx = x + C$。
• 正确处理积分常数：不定积分的结果中必须包含常数项$C$，且多个常数项可合并为一个。

将被积函数拆分为$\sec^2 x$和$1$两部分：
$\int (\sec^2 x + 1) \, dx = \int \sec^2 x \, dx + \int 1 \, dx$

第一步：计算$\int \sec^2 x \, dx$
根据基本积分公式：
$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_1$

第二步：计算$\int 1 \, dx$
直接积分得：
$\int 1 \, dx = x + C_2$

第三步：合并结果
将两部分的积分结果相加，并合并常数项：
$\tan x + C_1 + x + C_2 = \tan x + x + C$
（其中$C = C_1 + C_2$为任意常数）

选项分析：

• 选项D正确，包含$\tan x + x$和积分常数$C$。
• 其他选项错误原因：
  • A、C缺少常数项；
  • B中$\sec x$的积分错误（$\int \sec x \, dx \neq \tan x$）。