两个振动方向、振幅、频率均相同的简谐运动相遇叠加，测得某一时刻两个振动的位移都为零时，运动方向相反，则这两个振动相位之差为____. 合振幅为____.

考查要点：本题主要考查简谐运动的叠加条件及相位差对合振幅的影响，需结合振动的位移与速度关系分析相位差。

解题核心思路：

1. 相位差的确定：当两振动位移均为零且速度方向相反时，相位差为$\pi$的奇数倍。
2. 合振幅的计算：利用合振幅公式$A_{\text{合}} = 2A \left| \cos\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) \right|$，代入相位差即可求解。

破题关键点：

• 位移为零时的相位特征：位移为零对应正弦函数的零点，此时相位为$k\pi$。
• 速度方向与相位差的关系：速度方向相反说明相位差为$\pi$的奇数倍，导致合振幅为零。

相位差的推导

1. 位移为零的条件：
   设两振动分别为$y_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$和$y_2 = A \sin(\omega t + \phi_2)$。当位移均为零时，有：
   $\sin(\omega t + \phi_1) = 0 \quad \text{且} \quad \sin(\omega t + \phi_2) = 0$
   因此，$\omega t + \phi_1 = k\pi$，$\omega t + \phi_2 = m\pi$（$k, m \in \mathbb{Z}$），相位差为：
   $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2 = (k - m)\pi$

2. 速度方向相反的条件：
   速度分别为$v_1 = A\omega \cos(\omega t + \phi_1)$和$v_2 = A\omega \cos(\omega t + \phi_2)$。当位移为零时，$\cos(\omega t + \phi_1) = \pm 1$，$\cos(\omega t + \phi_2) = \pm 1$。若速度方向相反，则需$\cos(\omega t + \phi_1) = -\cos(\omega t + \phi_2)$，即：
   $\cos(k\pi) = -\cos(m\pi) \implies (-1)^k = -(-1)^m$
   解得$k - m$为奇数，因此$\Delta \phi = (2n + 1)\pi$（$n \in \mathbb{Z}$）。

合振幅的计算

将相位差$\Delta \phi = (2n + 1)\pi$代入合振幅公式：
$A_{\text{合}} = 2A \left| \cos\left(\frac{(2n + 1)\pi}{2}\right) \right| = 2A \left| \cos\left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right) \right| = 2A \cdot 0 = 0$