题目

图为两个简谐振动的 x - t 曲线，试分别写出其简谐振动方程 .x/cm-|||-cm-|||-10-|||-10 5-|||-1 2 t/s 0 1 t/s-|||-0-|||--10-|||--10-|||-(b)-|||-(a)

图为两个简谐振动的 x - t 曲线，试分别写出其简谐振动方程 .

题目解答

答案

简谐振动方程x(t)=Acos(ωt+φ)

其中：

x(t) 是物体在时刻 t 的位移，从平衡位置算起。

A 是振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离。

ω 是角频率，表示单位时间内物体转过的角度，与频率 f 的关系是 ω=2πf。

t 是时间。

φ 是初相，表示 t=0 时物体的相位。

【解】

(a)图中得知振幅A=10cm=0.1m；

周期T=2s，则ω= $\frac{2\pi}{T}$ =π rad/s;

当t=0s时，x=Acos φ=0，且速度v方向向上，即 $v=\frac{dx}{dt}=-Aωsin(ωt+φ)|_{t=0}$ =-Aωsin φ>0, 解得 $φ=-\frac{π}{2}$ ;

则振动方程为 $x(t)=0.1cos(\pi t-\frac{\pi}{2})(SI)$

(b)图中得知振幅A=10cm=0.1m；

当t=0s时，x=0.1cos φ=0.05，则 $φ=2k\pi\pm\frac{\pi}{3}$ ，k=0，1，2……

t=0时，速度v方向向上，即 $v=\frac{dx}{dt}=-Aωsin(ωt+φ)|_{t=0}$ =-Aωsin φ>0, 解得 $φ=-\frac{\pi}{3}$ ;

当t=1，x=0，即 $\cos(ω-\frac{\pi}{3})=0$ ,解得 $ω=\frac{5π}{6}$

则振动方程为 $x(t)=0.1\cos(\frac{5\pi}{6} t-\frac{\pi}{3})(SI)$

解析

步骤 1：确定振幅A
(a)图中得知振幅A=10cm=0.1m；
(b)图中得知振幅A=10cm=0.1m；
步骤 2：确定周期T和角频率ω
(a)图中周期T=2s，则ω=2π/T=π rad/s;
(b)图中周期T=2s，则ω=2π/T=π rad/s;
步骤 3：确定初相φ
(a)图中当t=0s时，x=Acos φ=0，且速度v方向向上，即$=\dfrac {dx}{dt}=-Aw\sin (wt+\varphi )|t=0$=-Aωsin φ>0, 解得$\rho =-\dfrac {\pi }{2}$;
(b)图中当t=0s时，x=0.1cos φ=0.05，则$p=2k\pi \pm \dfrac {\pi }{3}$，k=0，1，2……
t=0时，速度v方向向上，即$=\dfrac {dx}{dt}=-Aw\sin (wt+\varphi )|t=0$=-Aωsin φ>0, 解得$\rho =-\dfrac {\pi }{3}$;
步骤 4：确定振动方程
(a)振动方程为$t(t)=0.1\cos (\pi t-\dfrac {\pi }{2})(SI)$
(b)振动方程为$t(t)=0.1\cos (\dfrac {5\pi }{6}t-\dfrac {\pi }{3})(SI)$