设总体X服从[0,θ]上的均匀分布，其中 theta in (0, +infty) 为未知参数， X_(1), X_(2), ..., X_(n) 是来自总体X的简单随机样本，记 X(n) = max X_{1), X_(2), ..., X_(n) } ， T_(c) = cX(n) .(1) 求c，使得 T_(c) 是θ的无偏估计；(2) 记 h(c) = E(T_(c) - theta)^2，求c使得h(c)最小。

本题主要考查均匀分布的性质、无偏估计的概念以及函数求最值的方法。解题的关键在于先求出总体$X$的分布函数，进而得到$X_{(n)}$的分布函数和概率密度函数，然后计算$X_{(n)}$的期望和二阶矩，最后根据无偏估计和最小均方误差的定义来求解$c$的值。

（1）求$c$使得$T_{c}$是$\theta$的无偏估计

• 步骤一：求总体$X$的分布函数$F(x)$
  已知总体$X$服从$[0,\theta]$上的均匀分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},&0\leq x\leq\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
  根据分布函数的定义$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，可得：
  当$x<0$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}0dt = 0$；
  当$0\leq x\leq\theta$时，$F(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{\theta}dt=\frac{x}{\theta}$；
  当$x>\theta$时，$F(x)=\int_{0}^{\theta}\frac{1}{\theta}dt = 1$。
  即$F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\frac{x}{\theta},&0\leq x\leq\theta\\1,&x>\theta\end{cases}$。
• 步骤二：求$X_{(n)}$的分布函数$F_{X_{(n)}}(x)$
  因为$X_{(n)} = \max\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\}$，所以$F_{X_{(n)}}(x)=P(X_{(n)}\leq x)=P(\max\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\}\leq x)=[P(X_{1}\leq x)]^n=[F(x)]^n$。
  将$F(x)$代入可得：
  当$x<0$时，$F_{X_{(n)}}(x)=0^n = 0$；
  当$0\leq x\leq\theta$时，$F_{X_{(n)}}(x)=(\frac{x}{\theta})^n$；
  当$x>\theta$时，$F_{X_{(n)}}(x)=1^n = 1$。
  即$F_{X_{(n)}}(x)=\begin{cases}0,&x<0\\(\frac{x}{\theta})^n,&0\leq x\leq\theta\\1,&x>\theta\end{cases}$。
• 步骤三：求$X_{(n)}$的概率密度函数$f_{X_{(n)}}(x)$
  对$F_{X_{(n)}}(x)$求导，可得：
  当$x<0$或$x>\theta$时，$f_{X_{(n)}}(x)=0$；
  当$0\leq x\leq\theta$时，$f_{X_{(n)}}(x)=\frac{d}{dx}(\frac{x^n}{\theta^n})=\frac{nx^{n - 1}}{\theta^n}$。
  即$f_{X_{(n)}}(x)=\begin{cases}\frac{nx^{n - 1}}{\theta^n},&0\leq x\leq\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
• 步骤四：计算$E(X_{(n)})$
  根据期望的定义$E(X_{(n)})=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{X_{(n)}}(x)dx$，可得：
  $E(X_{(n)})=\int_{0}^{\theta}x\cdot\frac{nx^{n - 1}}{\theta^n}dx=\frac{n}{\theta^n}\int_{0}^{\theta}x^n dx=\frac{n}{\theta^n}\cdot\frac{x^{n + 1}}{n + 1}\big|_{0}^{\theta}=\frac{n\theta}{n + 1}$。
• 步骤五：求$c$的值
  因为$T_{c}=cX_{(n)}$是$\theta$的无偏估计，所以$E(T_{c}) = \theta$，即$E(cX_{(n)}) = cE(X_{(n)}) = \theta$。
  将$E(X_{(n)})=\frac{n\theta}{n + 1}$代入可得：$c\cdot\frac{n\theta}{n + 1} = \theta$，解得$c = \frac{n + 1}{n}$。

（2）求$c$使得$h(c) = E(T_{c} - \theta)^2$最小

• 步骤一：计算$E(X_{(n)}^2)$
  根据二阶矩的定义$E(X_{(n)}^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_{X_{(n)}}(x)dx$，可得：
  $E(X_{(n)}^2)=\int_{0}^{\theta}x^2\cdot\frac{nx^{n - 1}}{\theta^n}dx=\frac{n}{\theta^n}\int_{0}^{\theta}x^{n + 1} dx=\frac{n}{\theta^n}\cdot\frac{x^{n + 2}}{n + 2}\big|_{0}^{\theta}=\frac{n\theta^2}{n + 2}$。
• 步骤二：计算$h(c)$
  将$T_{c}=cX_{(n)}$代入$h(c) = E(T_{c} - \theta)^2$可得：
  $h(c)=E((cX_{(n)} - \theta)^2)=E(c^2X_{(n)}^2 - 2c\theta X_{(n)} + \theta^2)=c^2E(X_{(n)}^2) - 2c\theta E(X_{(n)}) + \theta^2$。
  将$E(X_{(n)})=\frac{n\theta}{n + 1}$和$E(X_{(n)}^2)=\frac{n\theta^2}{n + 2}$代入可得：
  $h(c)=c^2\cdot\frac{n\theta^2}{n + 2} - 2c\theta\cdot\frac{n\theta}{n + 1} + \theta^2=\theta^2(\frac{c^2n}{n + 2} - \frac{2cn}{n + 1} + 1)$。
• 步骤三：求$h(c)$的最小值点
  对$h(c)$求导，可得：
  $\frac{dh(c)}{dc}=\theta^2(\frac{2cn}{n + 2} - \frac{2n}{n + 1})$。
  令$\frac{dh(c)}{dc}=0$，即$\theta^2(\frac{2cn}{n + 2} - \frac{2n}{n + 1}) = 0$，因为$\theta^2\neq0$，所以$\frac{2cn}{n + 2} - \frac{2n}{n + 1} = 0$，解得$c = \frac{n + 2}{n + 1}$。