题目
6、半径为R的圆柱体空间内,充满均匀磁场B,且-|||-/dt=cgt 0 (c是常数),在磁场中放有导体ac(如图) X R×-|||-x-|||-求导体中的感生电动势。 x c-|||-a-|||-R R-|||-第6题图
题目解答
答案
由于ab长为R，为求ab导体中产生的感应电动势，可假设有一个边长为R的内接正六边形闭合电路，如图所示，求在该闭合电路中产生的感应电动势。
该正六边形的面积为
，由法拉第电磁感应定律得
，由于正六边形的六个边完全相同，所以，在每个边上产生的感应电动势为
，由法拉第电磁感应定律得，由于正六边形的六个边完全相同，所以，在每个边上产生的感应电动势为故答案为：
解析
步骤 1：确定闭合回路
为了计算导体ac中的感生电动势，我们假设一个边长为R的内接正六边形闭合电路，该闭合电路包含导体ac。这样做的目的是利用法拉第电磁感应定律来计算整个闭合电路中的感应电动势，然后根据对称性来确定导体ac上的感应电动势。
步骤 2：计算闭合回路的面积
正六边形的面积可以表示为$S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2$。这是因为正六边形可以分解为6个等边三角形，每个三角形的面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2$，所以整个正六边形的面积为$6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2$。
步骤 3：应用法拉第电磁感应定律
根据法拉第电磁感应定律，闭合回路中的感应电动势$E$等于磁通量的变化率，即$E = -\dfrac{d\phi}{dt}$。由于磁场均匀且随时间线性变化，磁通量的变化率等于磁场变化率乘以面积，即$E = -S\dfrac{dB}{dt} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2c$。由于题目中给出的是$c > 0$，所以感应电动势的方向与磁场变化的方向相反，但其大小为$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2c$。
步骤 4：确定导体ac上的感应电动势
由于正六边形的六个边完全相同，所以，在每个边上产生的感应电动势为${E}_{ab} = \dfrac{1}{6}E = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2c = \dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2c$。
为了计算导体ac中的感生电动势，我们假设一个边长为R的内接正六边形闭合电路，该闭合电路包含导体ac。这样做的目的是利用法拉第电磁感应定律来计算整个闭合电路中的感应电动势，然后根据对称性来确定导体ac上的感应电动势。
步骤 2：计算闭合回路的面积
正六边形的面积可以表示为$S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2$。这是因为正六边形可以分解为6个等边三角形，每个三角形的面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2$，所以整个正六边形的面积为$6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2$。
步骤 3：应用法拉第电磁感应定律
根据法拉第电磁感应定律，闭合回路中的感应电动势$E$等于磁通量的变化率，即$E = -\dfrac{d\phi}{dt}$。由于磁场均匀且随时间线性变化，磁通量的变化率等于磁场变化率乘以面积，即$E = -S\dfrac{dB}{dt} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2c$。由于题目中给出的是$c > 0$，所以感应电动势的方向与磁场变化的方向相反，但其大小为$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2c$。
步骤 4：确定导体ac上的感应电动势
由于正六边形的六个边完全相同，所以，在每个边上产生的感应电动势为${E}_{ab} = \dfrac{1}{6}E = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3\sqrt{3}}{2}R^2c = \dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2c$。