题目
设 f'(1)=1 ,则 =lim _(xarrow 0)dfrac (f(1+x)-f(1-2sin x))(x+2sin x)= .__
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于分子和分母在 $x \rightarrow 0$ 时都趋于0，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则允许我们对分子和分母分别求导，然后计算导数的极限。
步骤 2：求导
分子的导数为 $f'(1+x) + 2\cos x \cdot f'(1-2\sin x)$，分母的导数为 $1 + 2\cos x$。
步骤 3：计算极限
将 $x=0$ 代入导数表达式中，得到 $f'(1) + 2\cos(0) \cdot f'(1) = 1 + 2 \cdot 1 = 3$，分母为 $1 + 2\cos(0) = 3$。因此，极限值为 $\frac{3}{3} = 1$。
由于分子和分母在 $x \rightarrow 0$ 时都趋于0，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则允许我们对分子和分母分别求导，然后计算导数的极限。
步骤 2：求导
分子的导数为 $f'(1+x) + 2\cos x \cdot f'(1-2\sin x)$，分母的导数为 $1 + 2\cos x$。
步骤 3：计算极限
将 $x=0$ 代入导数表达式中，得到 $f'(1) + 2\cos(0) \cdot f'(1) = 1 + 2 \cdot 1 = 3$，分母为 $1 + 2\cos(0) = 3$。因此，极限值为 $\frac{3}{3} = 1$。