题目
1.设总体X具有分布律，其中theta(0<theta<1)为未知参数.X1 & 2 & 3 theta^2 & 2 theta(1-theta) & (1-theta)^2已知取得了样本值x_(1)=1,x_(2)=2,x_(3)=1,试求theta的极大似然估计值。
1.设总体X具有分布律，其中$\theta(0<\theta<1)$为未知参数.
$X\begin{array}{c|ccc}1 & 2 & 3 \\ \hline \theta^{2} & 2 \theta(1-\theta) & (1-\theta)^{2}\end{array}$
已知取得了样本值$x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=1,$试求$\theta$的极大似然估计值。
题目解答
答案
似然函数为：
\[
L(\theta) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 = 2\theta^5(1-\theta)
\]
取对数：
\[
\ln L(\theta) = \ln 2 + 5\ln\theta + \ln(1-\theta)
\]
求导并设为零：
\[
\frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta} = 0 \implies \theta = \frac{5}{6}
\]
或直接对似然函数求导：
\[
\frac{d}{d\theta} L(\theta) = 2\theta^4(5-6\theta) = 0 \implies \theta = \frac{5}{6}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{5}{6}}$
解析
本题考察极大似然估计的计算方法，核心步骤为：构造似然函数→取对数对数（便于求导）→求导并令导数为零→解出参数估计值。
步骤1：明确总体分布与样本信息
总体$X$的分布律为：
$X \sim \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\theta^2 & 2\theta(1-\theta) & (1-\theta)^2\end{pmatrix}$
]
样本值为$x_1=1,x_2=2,x_3=1$，共3个独立样本。
步骤2：构造似然函数
似然函数$L(\theta)$是样本联合分布律，对离散型总体，等于各样本取值概率的乘积：
- $x_1=1$的概率：$\theta^2$
- $x_2=2$的概率：$2\theta(1-\theta)$
$x_3=1$的概率：$\theta^2$
故：
$L(\theta) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 = 2\theta^{2+1+2} (1-\theta)^1 = 2\theta^5(1-\theta)$
步骤3：取对数求导
对$L(\theta)$取自然对数得：
$\ln L(\theta) = \ln 2 + 5\ln\theta + \ln(1-\theta)$
对$\theta$求导并令导数为0：
$\frac{d}{d\theta}\ln LL = \theta) = \frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta} = 0$
步骤4：解方程得估计值
$\frac{5}{\theta} = \frac{1}{1-\theta} \implies 5(1-\theta) = \theta \implies 5-5\theta = \theta \implies 6\theta=5 \implies \theta=\frac{5}{6}$