曲线 ) x=1+(t)^2 y=(t)^3 .在t=2处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.

考查要点：本题主要考查参数方程表示的曲线在某一点处的切线方程求解方法，涉及导数的计算及点斜式方程的应用。

解题核心思路：

1. 确定切点坐标：将参数值$t=2$代入参数方程$x=1+t^2$和$y=3t^3$，计算出切点$(x_0, y_0)$。
2. 求导数$\dfrac{dy}{dx}$：利用参数方程求导公式$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$，计算出斜率$m$。
3. 写切线方程：用点斜式方程$y - y_0 = m(x - x_0)$，代入已知数据即可。

关键点：

• 参数方程求导的链式法则应用。
• 代数运算的准确性，避免计算错误。

1. 计算切点坐标

将$t=2$代入参数方程：

• $x_0 = 1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$
• $y_0 = 3 \cdot (2)^3 = 3 \cdot 8 = 24$

切点坐标为$(5, 24)$。

2. 求导数$\dfrac{dy}{dx}$

• $\dfrac{dx}{dt} = 2t$
• $\dfrac{dy}{dt} = 9t^2$
• $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{9t^2}{2t} = \dfrac{9t}{2}$

当$t=2$时，斜率为：
$m = \dfrac{9 \cdot 2}{2} = 9$

3. 写切线方程

用点斜式方程：
$y - 24 = 9(x - 5)$
整理为标准形式：
$9x - y - 21 = 0$