一质量为 1 , (kg) 的球，系在长为 1.00 , (m) 的细绳上，细绳的另一端系在天花板上。把小球移到细绳与竖直方向成 30^circ 角的位置，然后由静止放开。求：(1) 在绳从 30^circ 角到 0^circ 角的过程中，重力和张力所做的功；(2) 物体在最低位置处的动能。(3) 在最低位置处时绳的张力。

本题主要考查了重力做功、张力做功、动能定理以及圆周运动中向心力的知识。解题的关键在于明确各力做功的特点，利用动能定理求解动能，再结合圆周运动的向心力公式计算张力。

1. 计算重力和张力所做的功
   • 重力做功：
     • 首先，我们需要确定小球初位置相对末位置（最低点）的高度差$h$。当细绳与竖直方向成$30^{\circ}$角时，根据几何关系可知，小球的高度$h = L(1 - \cos 30^{\circ})$，其中$L = 1.00 \, \text{m}$。
     • 代入数据可得：$h = 1\times(1 - \cos 30^{\circ}) = 1\times(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 1\times(1 - 0.866) = 0.134 \, \text{m}$。
     • 根据重力做功公式$W_g = mgh$，其中$m = 1 \, \text{kg}$，$g = 9.8 \, \text{m/s}^2$，可得：$W_g = 1\times9.8\times0.134 = 1.3132 \approx 1.31 \, \text{J}$。
   • 张力做功：
     • 张力始终与小球的运动方向垂直，根据功的定义$W = Fs\cos\theta$（其中$\theta$为$F$与$s$的夹角），因为$\theta = 90^{\circ}$，$\cos 90^{\circ} = 0$，所以张力做功$W_T = 0$。
2. 计算物体在最低位置处的动能
   • 根据动能定理，合外力对物体做的功等于物体动能的变化量。在小球从$30^{\circ}$角位置到最低点的过程中，合外力做功$W_{合}=W_g + W_T$，由于$W_T = 0$，所以$W_{合}=W_g$。
   • 设小球在最低点的动能为$K$，初动能$K_0 = 0$（由静止放开），则$K - K_0 = W_{合}$，即$K = W_g = 1.31 \, \text{J}$。
3. 计算在最低位置处时绳的张力
   • 首先，根据动能公式$K = \frac{1}{2}mv^2$，可得$v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$。
   • 已知$K = 1.31 \, \text{J}$，$m = 1 \, \text{kg}$，则$v = \sqrt{\frac{2\times1.31}{1}} = \sqrt{2.62} \approx 1.62 \, \text{m/s}$。
   • 在最低点，小球受到重力$mg$和绳子的张力$T$，这两个力的合力提供小球做圆周运动的向心力，根据向心力公式$F_{向}=T - mg = \frac{mv^2}{L}$。
   • 可得$T = mg + \frac{mv^2}{L}$，代入$m = 1 \, \text{kg}$，$g = 9.8 \, \text{m/s}^2$，$v^2 = 2.62 \, \text{m}^2/\text{s}^2$，$L = 1.00 \, \text{m}$，则$T = 1\times9.8 + \frac{1\times2.62}{1} = 9.8 + 2.62 = 12.42 \approx 12.4 \, \text{N}$。