14.1mol的某种理想气体完成了由两个等体过程和两个等压过程构成的循环过程,如图所-|||-示.已知状态1的温度为T1,状态3的温度为T3,且状态2和4在同一等温线上.求气体在-|||-这一循环过程中做的功.-|||-↑p-|||-2 3-|||-1 14-|||-O-|||-第14题图

考查要点：本题主要考查理想气体循环过程的做功计算，涉及等体过程、等压过程及等温过程的性质，需要结合理想气体状态方程进行变量替换。

解题核心思路：

1. 确定各状态参数关系：利用等温条件（状态2和4温度相同）及题目给出的等体、等压过程条件，建立压力、体积与温度之间的关系。
2. 计算循环做功：循环过程的做功等于循环图包围的面积，通过分析各段过程的贡献，结合理想气体方程化简表达式。

破题关键点：

• 等温条件的应用：状态2和4的温度相同，通过理想气体方程建立关系。
• 变量替换：将压力和体积用温度和R表示，消去中间变量，最终用T₁和T₃表示结果。

步骤1：确定状态参数关系

1. 状态1和3的温度：
   根据理想气体方程：
   $T_1 = \frac{P_1 V_1}{R}, \quad T_3 = \frac{P_3 V_3}{R}.$

2. 状态2和4的温度：
   由于状态2和4在同一条等温线上，温度相同，设为$T$，则：
   $T = \frac{P_2 V_2}{R} = \frac{P_4 V_4}{R}.$

3. 题目条件应用：
   根据题意，$P_2 = P_3$，$V_2 = V_1$，$P_4 = P_1$，$V_4 = V_3$，代入得：
   $T = \frac{P_3 V_1}{R} = \frac{P_1 V_3}{R}.$

步骤2：建立温度关系

将$T_1$和$T_3$代入$T$的表达式，可得：
$T^2 = T_1 \cdot T_3 \quad \Rightarrow \quad T = \sqrt{T_1 T_3}.$

步骤3：计算循环做功

循环做功等于循环图包围的面积。根据等压过程的做功公式：
$W = (P_2 - P_1)(V_3 - V_2).$

将$P_2 = P_3$，$V_2 = V_1$，$P_4 = P_1$，$V_4 = V_3$代入，并利用理想气体方程替换压力和体积：
$\begin{aligned}W &= P_3 V_3 - P_3 V_1 - P_1 V_3 + P_1 V_1 \\&= R T_3 - 2R T + R T_1 \\&= R(T_1 + T_3 - 2\sqrt{T_1 T_3}).\end{aligned}$