37.电量q均匀分布在长为2l的细杆上,求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的-|||-电势(设无穷远处为电势零点)。

考查要点：本题主要考查连续带电体电势的计算，需要掌握电势的叠加原理和积分方法的应用。

解题核心思路：

1. 确定线电荷密度：将总电荷$q$均匀分布在长度为$2L$的细杆上，线电荷密度为$\lambda = \frac{q}{2L}$。
2. 建立坐标系：假设杆从$x=0$到$x=2L$，P点位于杆右端延长线上，距离杆端$a$，即坐标为$x=2L+a$。
3. 微元法积分：将杆分为无数电荷元$dx$，每个电荷元在P点产生的电势为$\frac{k \lambda dx}{r}$，其中$r$为电荷元到P点的距离。
4. 积分求总电势：对所有电荷元的电势进行积分，注意积分上下限和变量替换。

破题关键：

• 正确表达电荷元到P点的距离：$r = (2L + a) - x$。
• 变量替换简化积分：令$u = (2L + a) - x$，积分转化为$\int \frac{du}{u}$的形式。

步骤1：确定线电荷密度

杆的总电荷为$q$，长度为$2L$，故线电荷密度为：
$\lambda = \frac{q}{2L}$

步骤2：建立坐标系与电荷元分析

设杆从$x=0$到$x=2L$，P点坐标为$x=2L+a$。任一电荷元位于$x$处，其到P点的距离为：
$r = (2L + a) - x$

步骤3：微元电势表达式

每个电荷元$dx$的电荷为$\lambda dx$，其在P点产生的电势为：
$dV = \frac{k \lambda dx}{r} = \frac{k \lambda dx}{(2L + a) - x}$

步骤4：积分求总电势

对$x$从$0$到$2L$积分：
$V = \int_{0}^{2L} \frac{k \lambda dx}{(2L + a) - x}$
令$u = (2L + a) - x$，则当$x=0$时$u=2L+a$，当$x=2L$时$u=a$，积分变为：
$V = k \lambda \int_{2L+a}^{a} \frac{-du}{u} = k \lambda \int_{a}^{2L+a} \frac{du}{u} = k \lambda \ln\left(\frac{2L+a}{a}\right)$

步骤5：代入线电荷密度

将$\lambda = \frac{q}{2L}$代入：
$V = \frac{k q}{2L} \ln\left(\frac{a + 2L}{a}\right)$
其中$k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$，最终结果为：
$V = \frac{q}{8\pi \varepsilon_0 L} \ln\left(\frac{a + 2L}{a}\right)$