题目
已知作一维运动的微观粒子处于某一定态,其波函数为varphi (x)= ) 0 sqrt (1/a)sin (pi x/a) .-|||-lt -a,xgt a-|||--alt xlt a附近发现粒子的概率最大。
已知作一维运动的微观粒子处于某一定态,其波函数为
a\\ \sqrt {1/a} \sin ( \pi x/a) & -a
附近发现粒子的概率最大。
题目解答
答案
要找到在何处发现粒子的概率最大，需要先求出概率密度函数
.
已知波函数
a\\\sqrt{\frac{1}{a}}\sin(\frac{\pi x}{a})&-a
当
时，
.
对求导并令其等于0可得：
，即
，解得
.
所以在附近发现粒子的概率最大，即
的绝对值等于
.
故答案为：
.
解析
步骤 1：确定概率密度函数
根据波函数$\varphi (x)$，概率密度函数${|\varphi (x)|}^{2}$为：
当$-a\lt x\lt a$时，${|\varphi (x)|}^{2}=\dfrac {1}{a}{\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$.
步骤 2：求导并令其等于0
对${|\varphi (x)|}^{2}$求导并令其等于0可得：
$[\dfrac {1}{a}{\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})] '=\dfrac {2\pi }{{a}^{2}}\sin (\dfrac {\pi x}{a})\cos (\dfrac {\pi x}{a})$0=，即$\sin (\dfrac {2\pi x}{a})=0$，解得$x=\pm \dfrac {a}{2}$.
步骤 3：确定概率最大值位置
所以在$x=\pm \dfrac {a}{2}$附近发现粒子的概率最大，即的绝对值等于$\dfrac {1}{2}a$.
根据波函数$\varphi (x)$，概率密度函数${|\varphi (x)|}^{2}$为：
当$-a\lt x\lt a$时，${|\varphi (x)|}^{2}=\dfrac {1}{a}{\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$.
步骤 2：求导并令其等于0
对${|\varphi (x)|}^{2}$求导并令其等于0可得：
$[\dfrac {1}{a}{\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})] '=\dfrac {2\pi }{{a}^{2}}\sin (\dfrac {\pi x}{a})\cos (\dfrac {\pi x}{a})$0=，即$\sin (\dfrac {2\pi x}{a})=0$，解得$x=\pm \dfrac {a}{2}$.
步骤 3：确定概率最大值位置
所以在$x=\pm \dfrac {a}{2}$附近发现粒子的概率最大，即的绝对值等于$\dfrac {1}{2}a$.