题目
6.20一平面简谐波沿x轴正向传播,如题6.20图所示.已知振幅为A,频率为V,×波速为u.-|||-(1)若 t=0 时,原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动,写出此波的波动方程;-|||-(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等,试写出反射波的波动方程,并求x轴上-|||-因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置.-|||-波疏 波密-|||-"-|||-P x-|||--3λ/4-|||-反射面-|||-题6.20图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波动方程的初始条件
根据题目，当 t=0 时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动。这意味着在 t=0 时，原点处的位移为0，且速度为正。因此，原点处的初始相位为 $-\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：写出波动方程
波动方程的一般形式为 $y = A\cos(2\pi v(t - \frac{x}{u}) + \theta)$，其中 $A$ 是振幅，$v$ 是频率，$u$ 是波速，$\theta$ 是初始相位。根据步骤1，$\theta = -\frac{\pi}{2}$。因此，波动方程为 $y = A\cos(2\pi v(t - \frac{x}{u}) - \frac{\pi}{2})$。
步骤 3：确定反射波的波动方程
反射波的振幅与入射波相同，即为A。反射波的频率和波速也与入射波相同。由于波从波疏介质入射到波密介质，反射波在分界面处存在半波损失，即反射波的相位比入射波的相位多$\pi$。因此，反射波在分界面处的相位为 $-\frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3}{4}\lambda - \frac{\pi}{2} + \pi = -\pi$。反射波在原点处的相位为 $-\frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3}{4}\lambda - \pi = -\frac{5\pi}{2}$，考虑到相位角的周期性，反射波在原点处的相位为 $-\frac{\pi}{2}$。因此，反射波的波动方程为 $y_{ref} = A\cos(2\pi v(t + \frac{x}{u}) - \frac{\pi}{2})$。
步骤 4：求解驻波方程
驻波方程为入射波和反射波的叠加，即 $y = A\cos(2\pi v(t - \frac{x}{u}) - \frac{\pi}{2}) + A\cos(2\pi v(t + \frac{x}{u}) - \frac{\pi}{2})$。利用三角函数的和差化积公式，可以得到 $y = 2A\cos(\frac{2\pi x}{\lambda})\cos(2\pi vt - \frac{\pi}{2})$。
步骤 5：求解静止点的位置
驻波的静止点（波节）满足 $\cos(\frac{2\pi x}{\lambda}) = 0$，即 $\frac{2\pi x}{\lambda} = (2k+1)\frac{\pi}{2}$，其中 $k$ 是整数。解得 $x = (2k+1)\frac{\lambda}{4}$。根据题目条件，$k$ 只能取0和1，因此静止点的位置为 $x = \frac{\lambda}{4}$ 和 $x = \frac{3\lambda}{4}$。
根据题目，当 t=0 时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动。这意味着在 t=0 时，原点处的位移为0，且速度为正。因此，原点处的初始相位为 $-\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：写出波动方程
波动方程的一般形式为 $y = A\cos(2\pi v(t - \frac{x}{u}) + \theta)$，其中 $A$ 是振幅，$v$ 是频率，$u$ 是波速，$\theta$ 是初始相位。根据步骤1，$\theta = -\frac{\pi}{2}$。因此，波动方程为 $y = A\cos(2\pi v(t - \frac{x}{u}) - \frac{\pi}{2})$。
步骤 3：确定反射波的波动方程
反射波的振幅与入射波相同，即为A。反射波的频率和波速也与入射波相同。由于波从波疏介质入射到波密介质，反射波在分界面处存在半波损失，即反射波的相位比入射波的相位多$\pi$。因此，反射波在分界面处的相位为 $-\frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3}{4}\lambda - \frac{\pi}{2} + \pi = -\pi$。反射波在原点处的相位为 $-\frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3}{4}\lambda - \pi = -\frac{5\pi}{2}$，考虑到相位角的周期性，反射波在原点处的相位为 $-\frac{\pi}{2}$。因此，反射波的波动方程为 $y_{ref} = A\cos(2\pi v(t + \frac{x}{u}) - \frac{\pi}{2})$。
步骤 4：求解驻波方程
驻波方程为入射波和反射波的叠加，即 $y = A\cos(2\pi v(t - \frac{x}{u}) - \frac{\pi}{2}) + A\cos(2\pi v(t + \frac{x}{u}) - \frac{\pi}{2})$。利用三角函数的和差化积公式，可以得到 $y = 2A\cos(\frac{2\pi x}{\lambda})\cos(2\pi vt - \frac{\pi}{2})$。
步骤 5：求解静止点的位置
驻波的静止点（波节）满足 $\cos(\frac{2\pi x}{\lambda}) = 0$，即 $\frac{2\pi x}{\lambda} = (2k+1)\frac{\pi}{2}$，其中 $k$ 是整数。解得 $x = (2k+1)\frac{\lambda}{4}$。根据题目条件，$k$ 只能取0和1，因此静止点的位置为 $x = \frac{\lambda}{4}$ 和 $x = \frac{3\lambda}{4}$。