题目
已知一维晶体的电子能带可写成:(k)=dfrac ({h)^2}(m{a)^2}(dfrac (7)(8)-cos ka+dfrac (1)(8)cos 2ka)。式中(k)=dfrac ({h)^2}(m{a)^2}(dfrac (7)(8)-cos ka+dfrac (1)(8)cos 2ka)是晶格常数。试求(1)能带的宽度;(2)电子在波矢(k)=dfrac ({h)^2}(m{a)^2}(dfrac (7)(8)-cos ka+dfrac (1)(8)cos 2ka)的状态时的速度;(3)能带底部和顶部电子的有效质量。
已知一维晶体的电子能带可写成:
。
式中
是晶格常数。试求
(1)能带的宽度;
(2)电子在波矢
的状态时的速度;
(3)能带底部和顶部电子的有效质量。
题目解答
答案
解:(1)在能带底
处,电子能量为
在能带顶
处,电子能量为
故能带宽度为
(2)电子在波矢的状态时的速度为
(3)电子的有效质量为
于是有在能带底部电子的有效质量为
在能带顶部电子的有效质量为
解析
步骤 1：计算能带的宽度
能带的宽度可以通过计算能带顶和能带底的能量差来得到。能带底的能量对应于波矢\(k=0\)，能带顶的能量对应于波矢\(k=\frac{\pi}{a}\)。
步骤 2：计算电子在波矢的状态时的速度
电子的速度可以通过能带能量\(E(k)\)对波矢\(k\)的导数来计算，即\(v(k)=\frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}\)。
步骤 3：计算能带底部和顶部电子的有效质量
电子的有效质量可以通过能带能量\(E(k)\)对波矢\(k\)的二阶导数来计算，即\(m^*(k) = \frac{\hbar^2}{\frac{d^2E}{dk^2}}\)。
能带的宽度可以通过计算能带顶和能带底的能量差来得到。能带底的能量对应于波矢\(k=0\)，能带顶的能量对应于波矢\(k=\frac{\pi}{a}\)。
步骤 2：计算电子在波矢的状态时的速度
电子的速度可以通过能带能量\(E(k)\)对波矢\(k\)的导数来计算，即\(v(k)=\frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}\)。
步骤 3：计算能带底部和顶部电子的有效质量
电子的有效质量可以通过能带能量\(E(k)\)对波矢\(k\)的二阶导数来计算，即\(m^*(k) = \frac{\hbar^2}{\frac{d^2E}{dk^2}}\)。