题目
(2)设总体X的概率密度为f(x; alpha, beta )=}alpha, & -1<0, beta , & 0le x<1, 0, & 其他,其中alpha,beta是未知参数，利用总体X的如下样本值-0.5,0.3,-0.2,-0.6,-0.1,0.4,0.5,-0.8,求alpha的矩估计值和最大似然估计值.
(2)设总体X的概率密度为$f(x; \alpha, \beta )=\begin{cases}\alpha, & -1<0,\\ \beta , & 0\le x<1,\\ 0, & 其他,\end{cases}$其中$\alpha,\beta$是未知参数，利用总体X的如下样本值-0.5,0.3,-0.2,-0.6,-0.1,0.4,0.5,-0.8,求$\alpha$的矩估计值和最大似然估计值.
题目解答
答案
**矩估计：**
计算样本均值 $\overline{X} = -0.125$，利用 $E(X) = \frac{\beta - \alpha}{2}$，得 $\beta - \alpha = -0.25$。
结合 $\alpha + \beta = 1$，解得 $\alpha = 0.625$。
**最大似然估计：**
似然函数 $L(\alpha) = \alpha^5(1-\alpha)^3$，取对数并求导得 $\alpha = \frac{5}{8} = 0.625$。
**答案：**
$\alpha$ 的矩估计值和最大似然估计值均为 $\boxed{0.625}$。
解析
步骤 1：计算样本均值
给定样本值为：-0.5, 0.3, -0.2, -0.6, -0.1, 0.4, 0.5, -0.8。计算样本均值 $\overline{X}$。
$$
\overline{X} = \frac{-0.5 + 0.3 - 0.2 - 0.6 - 0.1 + 0.4 + 0.5 - 0.8}{8} = -0.125
$$
步骤 2：利用矩估计法求解 $\alpha$
根据概率密度函数，总体的期望 $E(X)$ 可以表示为：
$$
E(X) = \int_{-1}^{0} x \alpha dx + \int_{0}^{1} x \beta dx = \frac{\beta - \alpha}{2}
$$
将样本均值 $\overline{X} = -0.125$ 代入，得到：
$$
\frac{\beta - \alpha}{2} = -0.125
$$
即：
$$
\beta - \alpha = -0.25
$$
步骤 3：利用 $\alpha + \beta = 1$ 求解 $\alpha$
由概率密度函数的归一化条件，有：
$$
\int_{-1}^{0} \alpha dx + \int_{0}^{1} \beta dx = 1
$$
即：
$$
\alpha + \beta = 1
$$
联立 $\beta - \alpha = -0.25$ 和 $\alpha + \beta = 1$，解得：
$$
\alpha = 0.625
$$
步骤 4：利用最大似然估计法求解 $\alpha$
似然函数 $L(\alpha) = \alpha^5(1-\alpha)^3$，取对数并求导得：
$$
\ln L(\alpha) = 5 \ln \alpha + 3 \ln (1-\alpha)
$$
$$
\frac{d \ln L(\alpha)}{d \alpha} = \frac{5}{\alpha} - \frac{3}{1-\alpha} = 0
$$
解得：
$$
\alpha = \frac{5}{8} = 0.625
$$
给定样本值为：-0.5, 0.3, -0.2, -0.6, -0.1, 0.4, 0.5, -0.8。计算样本均值 $\overline{X}$。
$$
\overline{X} = \frac{-0.5 + 0.3 - 0.2 - 0.6 - 0.1 + 0.4 + 0.5 - 0.8}{8} = -0.125
$$
步骤 2：利用矩估计法求解 $\alpha$
根据概率密度函数，总体的期望 $E(X)$ 可以表示为：
$$
E(X) = \int_{-1}^{0} x \alpha dx + \int_{0}^{1} x \beta dx = \frac{\beta - \alpha}{2}
$$
将样本均值 $\overline{X} = -0.125$ 代入，得到：
$$
\frac{\beta - \alpha}{2} = -0.125
$$
即：
$$
\beta - \alpha = -0.25
$$
步骤 3：利用 $\alpha + \beta = 1$ 求解 $\alpha$
由概率密度函数的归一化条件，有：
$$
\int_{-1}^{0} \alpha dx + \int_{0}^{1} \beta dx = 1
$$
即：
$$
\alpha + \beta = 1
$$
联立 $\beta - \alpha = -0.25$ 和 $\alpha + \beta = 1$，解得：
$$
\alpha = 0.625
$$
步骤 4：利用最大似然估计法求解 $\alpha$
似然函数 $L(\alpha) = \alpha^5(1-\alpha)^3$，取对数并求导得：
$$
\ln L(\alpha) = 5 \ln \alpha + 3 \ln (1-\alpha)
$$
$$
\frac{d \ln L(\alpha)}{d \alpha} = \frac{5}{\alpha} - \frac{3}{1-\alpha} = 0
$$
解得：
$$
\alpha = \frac{5}{8} = 0.625
$$