如图所示,一边长为,总电阻为的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中,磁场方向垂直于纸面向外,其大小沿方向变化,且,。求:(1)穿过正方形线框的磁通量;(2)当随时间按 (为正值常量)变化时,线框中感生电流的大小和方向。

本题主要考查磁通量的计算、法拉第电磁感应定律以及楞次定律的应用。解题思路如下：

（1）求穿过正方形线框的磁通量

磁通量的计算公式为$\varPhi=\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}$，由于磁场方向垂直于纸面向外且沿$x$方向变化，我们需要通过积分来计算磁通量。

• 首先，在$x$处取一个宽度为$dx$、长度为$a$的小矩形面积元$dS = a\cdot dx$。
• 已知磁场大小$B = k(1 + x)$，且$\vec{B}$与$d\vec{S}$方向相同，所以$\vec{B}\cdot d\vec{S}=BdS$。
• 然后对整个正方形线框的面积进行积分，积分区间为$x$从$0$到$a$，即$\varPhi=\int_{0}^{a}BdS=\int_{0}^{a}k(1 + x)a\cdot dx$。
• 对积分式进行计算：
  $\begin{align*}\varPhi&=ak\int_{0}^{a}(1 + x)dx\\&=ak\left(x+\frac{1}{2}x^{2}\right)\big|_{0}^{a}\\&=ak\left(a+\frac{1}{2}a^{2}-0 - 0\right)\\&=a^{2}k\left(1+\frac{1}{2}a\right)\end{align*}$

（2）求当$k$随时间按$k(t)=k_{0}t$变化时，线框中感生电流的大小和方向

• 求感应电动势的大小：
  根据法拉第电磁感应定律$\varepsilon=\left|\frac{d\varPhi}{dt}\right|$，将$\varPhi = a^{2}k_{0}t\left(1+\frac{1}{2}a\right)$代入可得：
  $\varepsilon=\left|\frac{d}{dt}\left[a^{2}k_{0}t\left(1+\frac{1}{2}a\right)\right]\right|$
  因为$a^{2}$、$k_{0}$、$\left(1+\frac{1}{2}a\right)$均为常量，所以$\varepsilon=a^{2}k_{0}\left(1+\frac{1}{2}a\right)$。
• 求感生电流的大小：
  根据欧姆定律$I = \frac{\varepsilon}{R}$，将$\varepsilon=a^{2}k_{0}\left(1+\frac{1}{2}a\right)$代入可得：
  $I=\frac{a^{2}k_{0}}{R}\left(1+\frac{1}{2}a\right)$
• 判断感生电流的方向：
  当$k$随时间增大时，磁场$B$随时间增大，穿过线框的磁通量增大。根据楞次定律，感应电流的磁场要阻碍磁通量的增大，所以感应电流的磁场方向垂直于纸面向里。再根据右手螺旋定则，可判断出感应电流的方向为顺时针方向。