劲度系数为k的轻弹簧，系一质量为m的物体，物体作简谐振动。如果t=0时，物体的速度达到最大值v_(max )，且向x轴负方向运动，则物体的振动方程为A. x=sqrt((k)/(m))v_(max )cos (sqrt((m)/(k))t+(pi )/(2))B. x=sqrt((k)/(m))v_(max )cos (sqrt((m)/(k))t-(pi )/(2))C. x=sqrt((m)/(k))v_(max )cos (sqrt((k)/(m))t+(pi )/(2))D. x=sqrt((m)/(k))v_(max )cos (sqrt((k)/(m))t-(pi )/(2))

本题考查简谐振动方程的求解，关键是确定振动方程的形式、振幅、角频率及初相位。

步骤1：简谐振动的基本形式

简谐振动的位移方程一般写为：
$x = A\cos(\omega t + \phi_0)$
其中：

• $A$ 为振幅，$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 为角频率（圆频率），$\phi_0$ 为初相位（$t=0$时的相位）。

步骤2：速度与振幅的关系

速度是位移对时间的导数：
$v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$
速度的最大值 $v_{\text{max}} = A\omega$，因此振幅 $A = \frac{v_{\text{max}}}{\omega}$。

代入 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$，得：
$A = \frac{v_{\text{max}}}{\sqrt{\frac{k}{m}}} = v_{\text{max}} \sqrt{\frac{m}{k}}$

步骤3：确定初相位 $\phi_0$

题目条件：$t=0$时，速度达到最大值 $v_{\text{max}}$，且方向沿 $x$轴负负方向。

• $t=0$时，速度 $v(0) = -A\omega \sin(\phi_0) = v_{\text{max}}$
• 因 $v_{\text{max}} = A\omega$，代入得：
  $-A\omega \sin(\phi_0) = A\omega \implies \sin(\phi_0) = -1$

解得 $\phi_0 = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ 或 $\phi_0 = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$，通常取 $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$（等价于 $-\frac{\pi}{2}$的相位差不影响余弦函数的周期性）。

步骤4：验证选项

将 $A = v_{\text{max}} \sqrt{\frac{m}{k}}$、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$、$\phi_0 = \frac{\pi}{2}$ 代入位移方程：
$x = v_{\text{max}} \sqrt{\frac{m}{k}} \cos\left( \sqrt{\frac{k}{m}}t + \frac{\pi}{2} \right)$

对比选项，选项C完全符合。