题目
一汽车在直线公路段上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则：（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？（2）若汽车刹车时的加速度只为4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
一汽车在直线公路段上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则：
（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
（2）若汽车刹车时的加速度只为4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
（2）若汽车刹车时的加速度只为4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
题目解答
答案
解：（1）${v}_{0}^{}=54km/h$=15m/s
设汽车经t时间速度自行车速度相等，${v}_{0}^{}-at={v}_{自}^{}$ ①
汽车的位移${x}_{汽}^{}$=${v}_{0}^{}•△t$+$\frac{{v}_{0}^{}+{v}_{自}^{}}{2}t$ ②
自行车的位移${x}_{自}^{}={v}_{自}^{}（△t+t）$ ③
根据几何关系${x}_{汽}^{}={x}_{自}^{}+{s}_{0}^{}$ ④
联立解得a=5$m/{s}_{}^{2}$
（2）设自行车经过时间t速度与汽车速度相等
${v}_{0}^{}-{a}_{1}^{}t={v}_{自}^{}+{a}_{2}^{}t$ ⑤
汽车的位移${x}_{汽}^{}={v}_{0}^{}t-\frac{1}{2}{a}_{1}^{}{t}_{}^{2}$+${v}_{0}^{}△t$ ⑥
自行车的位移${x}_{自}^{}$=${v}_{自}^{}t+\frac{1}{2}{a}_{2}^{}{t}_{}^{2}$ ⑦
恰好不相撞${x}_{汽}^{}={x}_{自}^{}$+14 ⑧
解得${a}_{2}^{}=1m/{s}_{}^{2}$
答：（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5$m/{s}_{}^{2}$
（2）自行车的加速度至少为$1m/{s}_{}^{2}$才能保证两车不相撞。
设汽车经t时间速度自行车速度相等，${v}_{0}^{}-at={v}_{自}^{}$ ①
汽车的位移${x}_{汽}^{}$=${v}_{0}^{}•△t$+$\frac{{v}_{0}^{}+{v}_{自}^{}}{2}t$ ②
自行车的位移${x}_{自}^{}={v}_{自}^{}（△t+t）$ ③
根据几何关系${x}_{汽}^{}={x}_{自}^{}+{s}_{0}^{}$ ④
联立解得a=5$m/{s}_{}^{2}$
（2）设自行车经过时间t速度与汽车速度相等
${v}_{0}^{}-{a}_{1}^{}t={v}_{自}^{}+{a}_{2}^{}t$ ⑤
汽车的位移${x}_{汽}^{}={v}_{0}^{}t-\frac{1}{2}{a}_{1}^{}{t}_{}^{2}$+${v}_{0}^{}△t$ ⑥
自行车的位移${x}_{自}^{}$=${v}_{自}^{}t+\frac{1}{2}{a}_{2}^{}{t}_{}^{2}$ ⑦
恰好不相撞${x}_{汽}^{}={x}_{自}^{}$+14 ⑧
解得${a}_{2}^{}=1m/{s}_{}^{2}$
答：（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5$m/{s}_{}^{2}$
（2）自行车的加速度至少为$1m/{s}_{}^{2}$才能保证两车不相撞。
解析
步骤 1：将汽车的速度从km/h转换为m/s
汽车的初始速度为54km/h，转换为m/s，即${v}_{0}^{}=54km/h=15m/s$。
步骤 2：确定汽车和自行车速度相等时的时间
为了避免相撞，汽车减速到与自行车速度相等。设汽车减速到与自行车速度相等的时间为t，则有${v}_{0}^{}-at={v}_{自}^{}$，其中${v}_{自}^{}=5m/s$。
步骤 3：计算汽车和自行车的位移
汽车的位移${x}_{汽}^{}$=${v}_{0}^{}•△t$+$\frac{{v}_{0}^{}+{v}_{自}^{}}{2}t$，其中△t=0.4s为反应时间。
自行车的位移${x}_{自}^{}={v}_{自}^{}（△t+t）$。
步骤 4：根据几何关系确定汽车和自行车的位移关系
为了避免相撞，汽车的位移应等于自行车的位移加上初始距离，即${x}_{汽}^{}={x}_{自}^{}+{s}_{0}^{}$，其中${s}_{0}^{}=14m$。
步骤 5：联立求解汽车的加速度
联立步骤2、3、4中的方程，求解汽车的加速度a。
步骤 6：计算汽车刹车时的加速度为4m/s^{2}时自行车的加速度
若汽车刹车时的加速度为4m/s^{2}，设自行车的加速度为${a}_{2}^{}$，则有${v}_{0}^{}-{a}_{1}^{}t={v}_{自}^{}+{a}_{2}^{}t$，其中${a}_{1}^{}=4m/s^{2}$。
步骤 7：计算汽车和自行车的位移
汽车的位移${x}_{汽}^{}={v}_{0}^{}t-\frac{1}{2}{a}_{1}^{}{t}_{}^{2}$+${v}_{0}^{}△t$，自行车的位移${x}_{自}^{}$=${v}_{自}^{}t+\frac{1}{2}{a}_{2}^{}{t}_{}^{2}$。
步骤 8：根据几何关系确定汽车和自行车的位移关系
为了避免相撞，汽车的位移应等于自行车的位移加上初始距离，即${x}_{汽}^{}={x}_{自}^{}$+14。
步骤 9：联立求解自行车的加速度
联立步骤6、7、8中的方程，求解自行车的加速度${a}_{2}^{}$。
汽车的初始速度为54km/h，转换为m/s，即${v}_{0}^{}=54km/h=15m/s$。
步骤 2：确定汽车和自行车速度相等时的时间
为了避免相撞，汽车减速到与自行车速度相等。设汽车减速到与自行车速度相等的时间为t，则有${v}_{0}^{}-at={v}_{自}^{}$，其中${v}_{自}^{}=5m/s$。
步骤 3：计算汽车和自行车的位移
汽车的位移${x}_{汽}^{}$=${v}_{0}^{}•△t$+$\frac{{v}_{0}^{}+{v}_{自}^{}}{2}t$，其中△t=0.4s为反应时间。
自行车的位移${x}_{自}^{}={v}_{自}^{}（△t+t）$。
步骤 4：根据几何关系确定汽车和自行车的位移关系
为了避免相撞，汽车的位移应等于自行车的位移加上初始距离，即${x}_{汽}^{}={x}_{自}^{}+{s}_{0}^{}$，其中${s}_{0}^{}=14m$。
步骤 5：联立求解汽车的加速度
联立步骤2、3、4中的方程，求解汽车的加速度a。
步骤 6：计算汽车刹车时的加速度为4m/s^{2}时自行车的加速度
若汽车刹车时的加速度为4m/s^{2}，设自行车的加速度为${a}_{2}^{}$，则有${v}_{0}^{}-{a}_{1}^{}t={v}_{自}^{}+{a}_{2}^{}t$，其中${a}_{1}^{}=4m/s^{2}$。
步骤 7：计算汽车和自行车的位移
汽车的位移${x}_{汽}^{}={v}_{0}^{}t-\frac{1}{2}{a}_{1}^{}{t}_{}^{2}$+${v}_{0}^{}△t$，自行车的位移${x}_{自}^{}$=${v}_{自}^{}t+\frac{1}{2}{a}_{2}^{}{t}_{}^{2}$。
步骤 8：根据几何关系确定汽车和自行车的位移关系
为了避免相撞，汽车的位移应等于自行车的位移加上初始距离，即${x}_{汽}^{}={x}_{自}^{}$+14。
步骤 9：联立求解自行车的加速度
联立步骤6、7、8中的方程，求解自行车的加速度${a}_{2}^{}$。