题目
-21 如图所示,长为、质量为的均质杆,可绕点O在竖直平面内转动,令杆至水平位置由静止摆下,在竖直位置与质量为的物体发生完全非弹性碰撞,碰撞后物体沿摩擦因数为的水平面滑动,试求此物体滑过的距离s.
-21 如图所示,长为、质量为的均质杆,可绕点O在竖直平面内转动,令杆至水平位置由静止摆下,在竖直位置与质量为的物体发生完全非弹性碰撞,碰撞后物体沿摩擦因数为的水平面滑动,试求此物体滑过的距离s.
题目解答
答案
分析 本题可分为三个过程,即细杆绕点O的转动过程,细杆与物体的完全非弹性碰撞以及碰撞后物体在粗糙水平面上的滑动过程。注意前两个过程,只能运用刚体定轴转动所满足的力学规律.其中,第一个过程满足机械能守恒,如以细杆摆至垂直位置时细杆质心为势能零点,则细杆在水平位置的势能应为
(而不是
),摆至垂直位置时细杆的动能为
(而不是
);第二个过程细杆和物体对点O的角动量守恒(而不是动量守恒,想一想为什么?),此外对完全非弹性碰撞,碰撞后瞬间满足
为碰撞后细杆的角速度,
为碰撞后物体的速度.
解 由分析知,有
转动过程 
碰撞过程 
滑动过程 
将
代入以上三式,解得物体滑过的距离为
讨论 碰撞时作用在细杆-物体系统的外力均通过点O,外力矩为零,故系统对点O的角动量守恒,但此时转轴的点O处会产生水平方向的轴力分量,使合外力并不为零,故系统动量并不守恒,这是初学者容易犯的一种错误.
题 4-21 图
解析
步骤 1：细杆摆动过程中的机械能守恒
细杆从水平位置摆动到竖直位置，由于没有外力做功，机械能守恒。设细杆的质心在竖直位置时为势能零点，细杆在水平位置时的势能为$mg\dfrac{l}{2}$，摆至竖直位置时细杆的动能为$\dfrac{1}{2}I\omega^2$，其中$I=\dfrac{1}{3}ml^2$是细杆绕点O的转动惯量，$\omega$是细杆的角速度。根据机械能守恒定律，有：
$$mg\dfrac{l}{2}=\dfrac{1}{2}I\omega^2$$
步骤 2：细杆与物体的完全非弹性碰撞
细杆与物体发生完全非弹性碰撞，碰撞前后系统对点O的角动量守恒。设碰撞后细杆的角速度为$\omega'$，物体的速度为$v$，则有：
$$I\omega=(I+\dfrac{m}{2}l^2)\omega'$$
由于碰撞后瞬间细杆和物体的速度关系为$v=\omega'l$，代入上式得：
$$I\omega=(I+\dfrac{m}{2}l^2)\dfrac{v}{l}$$
步骤 3：物体在粗糙水平面上的滑动
碰撞后物体沿摩擦因数为$\mu$的水平面滑动，根据动能定理，有：
$$-\dfrac{1}{2}mv^2=-\mu mgs$$
其中，$s$是物体滑过的距离。将$v$的表达式代入上式，得：
$$-\dfrac{1}{2}m(\dfrac{I\omega l}{I+\dfrac{m}{2}l^2})^2=-\mu mgs$$
细杆从水平位置摆动到竖直位置，由于没有外力做功，机械能守恒。设细杆的质心在竖直位置时为势能零点，细杆在水平位置时的势能为$mg\dfrac{l}{2}$，摆至竖直位置时细杆的动能为$\dfrac{1}{2}I\omega^2$，其中$I=\dfrac{1}{3}ml^2$是细杆绕点O的转动惯量，$\omega$是细杆的角速度。根据机械能守恒定律，有：
$$mg\dfrac{l}{2}=\dfrac{1}{2}I\omega^2$$
步骤 2：细杆与物体的完全非弹性碰撞
细杆与物体发生完全非弹性碰撞，碰撞前后系统对点O的角动量守恒。设碰撞后细杆的角速度为$\omega'$，物体的速度为$v$，则有：
$$I\omega=(I+\dfrac{m}{2}l^2)\omega'$$
由于碰撞后瞬间细杆和物体的速度关系为$v=\omega'l$，代入上式得：
$$I\omega=(I+\dfrac{m}{2}l^2)\dfrac{v}{l}$$
步骤 3：物体在粗糙水平面上的滑动
碰撞后物体沿摩擦因数为$\mu$的水平面滑动，根据动能定理，有：
$$-\dfrac{1}{2}mv^2=-\mu mgs$$
其中，$s$是物体滑过的距离。将$v$的表达式代入上式，得：
$$-\dfrac{1}{2}m(\dfrac{I\omega l}{I+\dfrac{m}{2}l^2})^2=-\mu mgs$$