(3分) 如图,静止在原点O处的某质点在几个力作用下沿着曲线-|||-^2=2y(s1) 运动。若其中一个力为 overrightarrow (F)=2xyoverrightarrow (i)+3(x)^2overrightarrow (j)(si),-|||-求质点从O点运动到P(4,8)点的过程中,力F所做的-|||-功。-|||-y-|||-p-|||-0° x

步骤 1：确定质点运动路径
质点沿着曲线 ${x}^{2}=2y$ 运动，可以将 $y$ 表示为 $x$ 的函数，即 $y=\frac{1}{2}x^2$。

步骤 2：计算力 $\overrightarrow {F}$ 在路径上的分量
力 $\overrightarrow {F}=2xy\overrightarrow {i}+3{x}^{2}\overrightarrow {j}$，其中 $x$ 和 $y$ 都是变量。将 $y=\frac{1}{2}x^2$ 代入力的表达式中，得到 $\overrightarrow {F}=2x\left(\frac{1}{2}x^2\right)\overrightarrow {i}+3{x}^{2}\overrightarrow {j}=x^3\overrightarrow {i}+3{x}^{2}\overrightarrow {j}$。

步骤 3：计算力 $\overrightarrow {F}$ 在路径上的功
质点从原点 $O(0,0)$ 运动到点 $P(4,8)$，力 $\overrightarrow {F}$ 在路径上的功 $W$ 可以通过积分计算得到。由于力 $\overrightarrow {F}$ 在 $x$ 方向的分量为 $x^3$，在 $y$ 方向的分量为 $3x^2$，因此，力 $\overrightarrow {F}$ 在路径上的功 $W$ 可以表示为：
$$
W = \int_{0}^{4} x^3 dx + \int_{0}^{8} 3x^2 dy
$$
由于 $y=\frac{1}{2}x^2$，则 $dy = x dx$，因此，第二个积分可以表示为：
$$
\int_{0}^{8} 3x^2 dy = \int_{0}^{4} 3x^2 \cdot x dx = \int_{0}^{4} 3x^3 dx
$$
因此，总功 $W$ 可以表示为：
$$
W = \int_{0}^{4} x^3 dx + \int_{0}^{4} 3x^3 dx = \int_{0}^{4} 4x^3 dx
$$
计算积分：
$$
W = \left. x^4 \right|_{0}^{4} = 4^4 - 0^4 = 256
$$