题目
(4) lim_(n to infty) ( (1)/(n^2) sin^2 (pi)/(n) + (2)/(n^2) sin^2 (2pi)/(n) + ... + (n)/(n^2) sin^2 (npi)/(n) );(5) lim_(n to infty) sqrt[n]( (1 + (1^2)/(n^2)) (1 + (2^2)/(n^2)) ... (1 + (n^2)/(n^2)) ).重点题补充 观察题干中分子、分母的次数，根据其特点，总结计算方法.
(4) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} \sin^2 \frac{\pi}{n} + \frac{2}{n^2} \sin^2 \frac{2\pi}{n} + \cdots + \frac{n}{n^2} \sin^2 \frac{n\pi}{n} \right)$;
(5) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left(1 + \frac{1^2}{n^2}\right) \left(1 + \frac{2^2}{n^2}\right) \cdots \left(1 + \frac{n^2}{n^2}\right) }$.
重点题补充 观察题干中分子、分母的次数，根据其特点，总结计算方法.
题目解答
答案
问题4：
原式可化为黎曼和，极限为 $\boxed{\frac{1}{4}}$。
问题5：
取对数后利用黎曼和，极限为 $\boxed{2e^{\frac{\pi}{2} - 2}}$（或 $\boxed{\frac{2e^{\frac{\pi}{2}}}{e^2}}$）。