弦振动研究实验中,相邻波节或波腹之间的距离是()A. 一个波长B. 半个波长C. 2倍波长
A. 一个波长
B. 半个波长
C. 2倍波长
题目解答
答案
解析
本题考查弦振动实验中波节和波腹的相关知识以及它们与波长的关系。解题思路是根据弦振动形成驻波的原理,明确波节和波腹的定义,进而分析相邻波节或波腹之间的距离与波长的联系。
在弦振动实验中,当弦上形成驻波时,波节是始终静止不动的点,波腹是振幅最大的点。设弦上的驻波方程为$y = 2A\cos\frac{2\pi}{\lambda}x\cos\omega t$,其中$A$是振幅,$\lambda$是波长,$\omega$是角频率,$x$是弦上的位置坐标。
对于波节,其位置满足$\cos\frac{2\pi}{\lambda}x = 0$,即$\frac{2\pi}{\lambda}x=(2n + 1)\frac{\pi}{2}$($n = 0,1,2,\cdots$),解这个方程可得$x=(2n + 1)\frac{\lambda}{4}$。
相邻两个波节的位置分别为$x_1=(2n + 1)\frac{\lambda}{4}$和$x_2=(2(n + 1)+ 1)\frac{\lambda}{4}=(2n + 3)\frac{\lambda}{4}$,那么相邻波节之间的距离$\Delta x=x_2 - x_1=(2n + 3)\frac{\lambda}{4}-(2n + 1)\frac{\lambda}{4}=\frac{\lambda}{2}$。
对于波腹,其位置满足$\vert\cos\frac{2\pi}{\lambda}x\vert = 1$,即$\frac{2\pi}{\lambda}x = n\pi$($n = 0,1,2,\cdots$),解这个方程可得$x = n\frac{\lambda}{2}$。
相邻两个波腹的位置分别为$x_1=n\frac{\lambda}{2}$和$x_2=(n + 1)\frac{\lambda}{2}$,那么相邻波腹之间的距离$\Delta x=x_2 - x_1=(n + 1)\frac{\lambda}{2}-n\frac{\lambda}{2}=\frac{\lambda}{2}$。
所以,相邻波节或波腹之间的距离是半个波长。