一 质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离s。试求整个轮轴的转动惯量 ( 用m、r、t和s表示 )

考查要点：本题综合考查匀加速直线运动、牛顿第二定律和刚体定轴转动定律的综合应用，关键在于建立物体运动与轮轴转动之间的联系。

解题核心思路：

1. 确定物体运动学关系：利用匀加速直线运动公式求加速度。
2. 分析受力与转动：对物体应用牛顿第二定律，对轮轴应用转动定律。
3. 联立方程求解：通过拉力$T$将物体运动与轮轴转动关联，最终消去中间量$T$，得到转动惯量$I$的表达式。

破题关键点：

• 加速度关联：物体的下落加速度$a$等于轮轴边缘的切向加速度$a = r\alpha$（$\alpha$为角加速度）。
• 拉力$T$的双重表达：既通过物体的运动方程表示，又通过轮轴的转动方程表示。

步骤1：求物体的加速度

物体从静止开始做匀加速直线运动，位移公式为：
$s = \frac{1}{2} a t^2 \implies a = \frac{2s}{t^2}$

步骤2：分析物体受力

物体受重力$mg$和绳的拉力$T$，由牛顿第二定律：
$mg - T = ma \implies T = mg - ma$

步骤3：分析轮轴转动

轮轴受绳的拉力$T$产生的力矩$M = Tr$，根据转动定律$M = I\alpha$，其中角加速度$\alpha = \frac{a}{r}$，代入得：
$Tr = I \cdot \frac{a}{r} \implies T = \frac{I a}{r^2}$

步骤4：联立方程求$I$

将$T = mg - ma$与$T = \frac{I a}{r^2}$联立：
$mg - ma = \frac{I a}{r^2}$
将$a = \frac{2s}{t^2}$代入，整理得：
$I = m r^2 \left( \frac{g t^2}{2s} - 1 \right)$