题目
一 质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离s。试求整个轮轴的转动惯量 ( 用m、r、t和s表示 )
一 质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离s。试求整个轮轴的转动惯量 ( 用m、r、t和s表示 )
题目解答
答案
由题意，物体做初速度为0的匀加速直线运动：
分析物体受力：有竖直向下的重力与竖直向上的绳的拉力，由牛顿第二定律：
.
轮轴在绳子的张力力矩作用下发生转动，由刚体定轴转动定律
，可得
.
物体下落的加速度与轮轴转动的切向加速度相同，而切向加速度与角加速度的关系是
，所以
联立以上几式可得轮轴的转动惯量
解析
步骤 1：物体的运动分析
物体从静止释放后，做匀加速直线运动。根据运动学公式，物体下落的距离s与时间t的关系为：
\[ s = \frac{1}{2} a t^2 \]
其中，a是物体的加速度。
步骤 2：物体的受力分析
物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用。根据牛顿第二定律，物体的加速度a可以表示为：
\[ ma = mg - T \]
其中，m是物体的质量，g是重力加速度。
步骤 3：轮轴的转动分析
轮轴在绳子的拉力T的作用下发生转动。根据刚体定轴转动定律，轮轴的角加速度α与拉力T的关系为：
\[ Tr = I \alpha \]
其中，r是轮轴的半径，I是轮轴的转动惯量，α是轮轴的角加速度。
步骤 4：加速度与角加速度的关系
物体下落的加速度a与轮轴转动的切向加速度相同，而切向加速度与角加速度的关系是：
\[ a = r \alpha \]
联立以上几式，可以求出轮轴的转动惯量I。
物体从静止释放后，做匀加速直线运动。根据运动学公式，物体下落的距离s与时间t的关系为：
\[ s = \frac{1}{2} a t^2 \]
其中，a是物体的加速度。
步骤 2：物体的受力分析
物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用。根据牛顿第二定律，物体的加速度a可以表示为：
\[ ma = mg - T \]
其中，m是物体的质量，g是重力加速度。
步骤 3：轮轴的转动分析
轮轴在绳子的拉力T的作用下发生转动。根据刚体定轴转动定律，轮轴的角加速度α与拉力T的关系为：
\[ Tr = I \alpha \]
其中，r是轮轴的半径，I是轮轴的转动惯量，α是轮轴的角加速度。
步骤 4：加速度与角加速度的关系
物体下落的加速度a与轮轴转动的切向加速度相同，而切向加速度与角加速度的关系是：
\[ a = r \alpha \]
联立以上几式，可以求出轮轴的转动惯量I。