题目
在O参考系中,有一个静止的正方形,其面积为 100 cm2。观测者O'以 0.8c的匀速度沿正方形的对角线运动。求O'所测得的该图形的面积。
在O参考系中,有一个静止的正方形,其面积为 100 cm2。观测者O'以 0.8c的匀速度沿正方形的对角线运动。求O'所测得的该图形的面积。
题目解答
答案
解:设O系中测得正方形边长为a,沿其对角线取x轴正方向(如图),则边长在各坐标轴上的投影长度为
,
O参考系中正方形面积为: 
在以速度v相对于O系沿x正方向运动的O'系中,各边长为
(尺缩效应)
故在O'系中测得的图形为菱形,其面积为
解析
步骤 1：确定正方形边长
在O参考系中，正方形的面积为100 cm²。设正方形的边长为a，则有：
\[ a^2 = 100 \]
\[ a = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \]
步骤 2：确定正方形边长在各坐标轴上的投影长度
沿正方形的对角线取x轴正方向，正方形边长在各坐标轴上的投影长度为：
\[ a_x = \frac{1}{2}\sqrt{2}a = \frac{1}{2}\sqrt{2} \times 10 = 5\sqrt{2} \, \text{cm} \]
\[ a_y = \frac{1}{2}\sqrt{2}a = \frac{1}{2}\sqrt{2} \times 10 = 5\sqrt{2} \, \text{cm} \]
步骤 3：计算O'系中测得的图形的面积
在以速度v相对于O系沿x正方向运动的O'系中，各边长为：
\[ a_x' = a_x \sqrt{1 - (v/c)^2} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{1 - (0.8)^2} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{1 - 0.64} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{0.36} = 5\sqrt{2} \times 0.6 = 3\sqrt{2} \, \text{cm} \]
\[ a_y' = a_y = 5\sqrt{2} \, \text{cm} \]
故在O'系中测得的图形为菱形，其面积为：
\[ S' = 2a_x' \cdot a_y' = 2 \times 3\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} = 2 \times 3 \times 5 \times 2 = 60 \, \text{cm}^2 \]
在O参考系中，正方形的面积为100 cm²。设正方形的边长为a，则有：
\[ a^2 = 100 \]
\[ a = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \]
步骤 2：确定正方形边长在各坐标轴上的投影长度
沿正方形的对角线取x轴正方向，正方形边长在各坐标轴上的投影长度为：
\[ a_x = \frac{1}{2}\sqrt{2}a = \frac{1}{2}\sqrt{2} \times 10 = 5\sqrt{2} \, \text{cm} \]
\[ a_y = \frac{1}{2}\sqrt{2}a = \frac{1}{2}\sqrt{2} \times 10 = 5\sqrt{2} \, \text{cm} \]
步骤 3：计算O'系中测得的图形的面积
在以速度v相对于O系沿x正方向运动的O'系中，各边长为：
\[ a_x' = a_x \sqrt{1 - (v/c)^2} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{1 - (0.8)^2} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{1 - 0.64} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{0.36} = 5\sqrt{2} \times 0.6 = 3\sqrt{2} \, \text{cm} \]
\[ a_y' = a_y = 5\sqrt{2} \, \text{cm} \]
故在O'系中测得的图形为菱形，其面积为：
\[ S' = 2a_x' \cdot a_y' = 2 \times 3\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} = 2 \times 3 \times 5 \times 2 = 60 \, \text{cm}^2 \]