13. (单选题，5分) 设随机变量X的概率密度为f(x)=}kcos x, & |x|leq(pi)/(2),0, & |x|>(pi)/(2).则k等于( ).A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. 0D. 1

考查要点：本题主要考查概率密度函数的性质，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。需要根据给定的概率密度函数形式，通过积分求解未知常数k的值。

解题核心思路：

1. 利用概率密度函数的归一化条件：概率密度函数$f(x)$满足$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。
2. 确定积分区间：根据题目中$f(x)$的定义，非零部分的区间为$|x| \leq \frac{\pi}{2}$，因此积分区间为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。
3. 计算积分并解方程：将积分结果设为1，解关于k的方程即可。

破题关键点：

• 正确写出积分表达式，注意积分上下限和被积函数形式。
• 正确计算定积分，利用$\int \cos x \, dx = \sin x + C$。

根据概率密度函数的归一化条件：
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} k \cos x \, dx = 1.$

步骤1：计算积分
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 - (-1) = 2.$

步骤2：代入归一化条件
$k \cdot 2 = 1 \implies k = \frac{1}{2}.$