题目

一质点沿x轴运动,其加速度为a=4t, 当t=0时,物体静止于x=0m处。求: 1. 质点t时刻的速度; 2. 位置x与时间t的关系式.

一质点沿x轴运动,其加速度为$a=4t$, 当$t=0$时,物体静止于$x=0m$处。求: 1. 质点t时刻的速度; 2. 位置x与时间t的关系式.

题目解答

答案

根据题意，加速度 $ a = 4t $，可得： \[ v(t) = \int a \, dt = \int 4t \, dt = 2t^2 + C \] 由 $ v(0) = 0 $，得 $ C = 0 $，故 $ v(t) = 2t^2 $。 接着， \[ x(t) = \int v(t) \, dt = \int 2t^2 \, dt = \frac{2}{3}t^3 + D \] 由 $ x(0) = 0 $，得 $ D = 0 $，故 $ x(t) = \frac{2}{3}t^3 $。 最终结果： 1. 速度：$ v(t) = 2t^2 $； 2. 位置：$ x(t) = \frac{2}{3}t^3 $。

解析

本题主要考查了运动学中加速度、速度和位置之间的关系，通过积分运算来求解速度和位置与时间的关系式。解题的关键在于利用给定的初始条件确定积分常数。

  1. 求质点$t$时刻的速度：
    • 我们知道加速度$a$是速度$v$对时间$t$的导数，即$a = \frac{dv}{dt}$，那么速度$v$就是加速度$a$对时间$t$的积分，所以$v(t)=\int a\mathrm{d}t$。
    • 已知$a = 4t$，将其代入上式可得$v(t)=\int 4t\mathrm{d}t$。
    • 根据积分公式$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对于$\int 4t\mathrm{d}t$，这里$n = 1$，则$\int 4t\mathrm{d}t=4\times\frac{1}{1 + 1}t^{1 + 1}+C = 2t^2 + C$，其中$C$为积分常数。
    • 题目中给出当$t = 0$时，物体静止，即$v(0)=0$，将$t = 0$代入$v(t)=2t^2 + C$中，可得$v(0)=2\times0^2 + C = 0$，解得$C = 0$。
    • 所以，质点$t$时刻的速度$v(t)=2t^2$。
  2. 求位置$x$与时间$t$的关系式：
    • 因为速度$v$是位置$x$对时间$t$的导数，即$v = \frac{dx}{dt}$，那么位置$x$就是速度$v$对时间$t$的积分，所以$x(t)=\int v(t)\mathrm{d}t$。
    • 由前面已求得$v(t)=2t^2$，将其代入上式可得$x(t)=\int 2t^2\mathrm{d}t$。
    • 同样根据积分公式$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对于$\int 2t^2\mathrm{d}t$，这里$n = 2$，则$\int 2t^2\mathrm{d}t=2\times\frac{1}{2 + 1}t^{2 + 1}+D=\frac{2}{3}t^3 + D$，其中$D$为积分常数。
    • 题目中给出当$t = 0$时，$x = 0$，即$x(0)=0$，将$t = 0$代入$x(t)=\frac{2}{3}t^3 + D$中，可得$x(0)=\frac{2}{3}\times0^3 + D = 0$，解得$D = 0$。
    • 所以，位置$x$与时间$t$的关系式为$x(t)=\frac{2}{3}t^3$。